[論文レビュー] Computing Ext for graph algebras

Mark Tomforde|ArXiv.org|Mar 8, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の行有限・シンクなしのグラフ C*-代数と、行列 $A_G - I$ の余核の間の同型を確立する。ここで $A_G$ はグラフの頂点行列である。この同型は、1-シンク拡張の類をシンクの接続を記述するベクトルへ明示的に写像し、グラフ論的データを用いて Ext の類を計算可能にする。主な貢献は、グラフ C*-代数の Ext を計算する構成的技法を提供し、すべてのトランスティヴで行有限・シンクなしのグラフ C*-代数が半プロジェクティブであるとは限らない反例を構成することにある。

ABSTRACT

For a row-finite graph G with no sinks and in which every loop has an exit, we construct an isomorphism between Ext(C*(G)) and coker(A-I), where A is the vertex matrix of G. If c is the class in Ext(C*(G)) associated to a graph obtained by attaching a sink to G, then this isomorphism maps c to the class of a vector which describes how the sink was added. We conclude with an application in which we use this isomorphism to produce an example of a row-finite transitive graph with no sinks whose associated C*-algebra is not semiprojective.

研究の動機と目的

• Cuntz と Krieger が Cuntz-Krieger 代数の Ext を計算したのを、より広いクラスのグラフ C*-代数へ拡張すること。
• 各ループがエグジットを持つ行有限・シンクなしのグラフに対して、$\operatorname{Ext}(C^*(G))$ と $\operatorname{coker}(A_G - I)$ の明示的同型を確立すること。
• この同型の下で、1-シンク拡張の類の像を計算可能な式で与えること。
• この同型を用いて、すべてのトランスティヴで行有限・シンクなしのグラフ C*-代数が半プロジェクティブであるとは限らない反例を構成すること。

提案手法

• 各ループがエグジットを持つ行有限・シンクなしのグラフ $G$ の頂点行列 $A_G$ を定義する。
• 拡張の構造とグラフ論的データを用いて、$\omega: \operatorname{Ext}(C^*(G)) \to \operatorname{coker}(A_G - I)$ の明示的同型を構成する。
• $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 内の1-シンク拡張の像を、特に Wojciech ベクトルとして知られる、シンクの接続を記述するベクトルの類として特徴付ける。
• 同型を用いて、$C^*(G)$ の半プロジェクティビティを、ある種の拡張が分解するかどうかを調べることで分析する。
• グラフの準同型によって誘導されるグラフ C*-代数間の準同型を、グラフ C*-代数の普遍性を用いて持ち上げる。
• $C^*(G)$ が半プロジェクティブであると仮定して矛盾を導く。非自明な拡張が自明でなければならないが、これは $\operatorname{coker}(A_G - I)$ 内の Wojciech ベクトルの非自明性に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ C*-代数の Ext 群は、その基盤となるグラフの組合せ的データを用いて計算可能か？
• RQ2 1-シンク拡張の類 $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ は、$\operatorname{coker}(A_G - I)$ 内のどのベクトルに対応するか？
• RQ3 グラフ C*-代数が半プロジェクティブである条件を、グラフ論的特徴づけで与えることは可能か？
• RQ4 同型 $\omega: \operatorname{Ext}(C^*(G)) \to \operatorname{coker}(A_G - I)$ を用いて、半プロジェクティビティの反例を構成できるか？
• RQ5 どの条件を満たせば、Wojciech ベクトルが $A_G - I$ の像に含まれないか？

主な発見

• 任意の行有限・シンクなしのグラフ $G$ で、各ループがエグジットを持つものについて、$\operatorname{Ext}(C^*(G))$ は $\operatorname{coker}(A_G - I)$ に同型である。
• 同型 $\omega$ は、1-シンク拡張の類を、シンクの接続を記述するベクトルの類、特に Wojciech ベクトルの類へ写像する。
• 1-シンク拡張に関連する拡張が $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 内で自明であることは、Wojciech ベクトルが $A_G - I$ の像に属するときにかつそのときに限り成り立つ。
• 本稿では、ある1-シンク拡張が非分解的であることを示すことにより、行有限・トランスティヴ・シンクなしのグラフ $G$ を構成し、その $C^*$-代数が半プロジェクティブでないことを示している。
• 拡張 $E_{n+1}$ の Wojciech ベクトル $\delta_{w_{n+1}}$ は $A_G - I$ の像に属さない。なぜなら、$\operatorname{im}(A_G - I)$ のすべての成分が偶数であるため、$[\delta_{w_{n+1}}] \neq 0$ が $\operatorname{coker}(A_G - I)$ 内で成り立つ。
• この非自明性は、拡張が分解しないことを意味し、半プロジェクティビティに反する。したがって、$C^*(G)$ は半プロジェクティブでないことが示された。