[論文レビュー] Computing Hilbert Class Polynomials

Juliana Belding, Reinier Bröker+2 more|ArXiv.org|Feb 7, 2008

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、素数が無限大に近い場合に有効なp進上昇法と、有限体上のCM曲線における類群作用を用いた最適化された中国剰余定理（CRT）手法を用いて、ヒルベルト類多項式を計算する2つの効率的なアルゴリズムを提示する。著者らは、よりタイトな複雑度の上限を達成し、GRHのもとで新しいCRT手法が期待時間 $ O(|D|(\text{log}|D|)^{7+o(1)}) $ で動作することを示している。また、ヒューリスティックには $ O(|D|(\text{log}|D|)^{3+o(1)}) $ の複雑度に改善され、既存の手法と同等の最良の実行時間性能を達成している。

ABSTRACT

We present and analyze two algorithms for computing the Hilbert class polynomial $H_D$ . The first is a p-adic lifting algorithm for inert primes p in the order of discriminant D < 0. The second is an improved Chinese remainder algorithm which uses the class group action on CM-curves over finite fields. Our run time analysis gives tighter bounds for the complexity of all known algorithms for computing $H_D$, and we show that all methods have comparable run times.

研究の動機と目的

• GRHのもとで、より小さいかつより多数存在する完全に分岐しない素数（inert primes）に対して、p進上昇法を構築し、ヒルベルト類多項式を計算する。
• 完全に分岐する素数に加えて、完全に分岐しない素数を組み込み、CM曲線における類群作用を活用することで、ヒルベルト類多項式を計算する多素数中国剰余定理（CRT）手法を改善する。
• 既知のすべてのヒルベルト類多項式計算アルゴリズムについて、よりタイトな複雑度の上限を提供し、複数の手法間で同等の漸近的性能を示す。
• 特に完全に分岐しない素数を組み合わせたCRTベースの手法の実用的妥当性を示す。ただし、隠れた定数が大きいことに注意。

提案手法

• 完全に分岐しない素数 $ p $ に対して、$ \mathbb{F}_{p^2} $ 上の特異楕円曲線の標準的上昇を用いて、$ p $-進精度での $ j $-不変量を計算するp進上昇アルゴリズムを開発する。
• 有限体上のCM曲線における類群作用を活用し、同種写像のサイクルと $ j $-不変量への群作用を用いて、$ H_D \bmod p $ を効率的に計算する。
• 中国剰余定理を用いて、完全に分岐する素数および完全に分岐しない素数の各々における結果を組み合わせ、$ H_D \in \mathbb{Z}[X] $ を再構成する。
• ヘンゼルの補題を用いて、同種写像のサイクルを $ \mathbb{F}_{p^2} $ から $ \mathbb{Q}_p $ の非分岐拡大 $ L $ に上昇させ、$ j $-不変量の $ p $-進近似を計算する。
• ニュートンの恒等式を用いて、$ p $-進上昇の過程で根の初等対称和を更新し、多項式の再構成を可能にする。
• 類群がCM曲線の $ j $-不変量の集合に自由かつ推移的に作用することを活用し、単一の上昇からすべての共役が生成されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GRHのもとで、より小さいかつより多数存在する完全に分岐しない素数（inert primes）に対して、p進上昇法を効果的に構築し、ヒルベルト類多項式を計算できるか？
• RQ2 完全に分岐しない素数と類群作用を組み合わせることで、中国剰余定理（CRT）手法の計算コストをどのように低減できるか？
• RQ3 複素解析的、p進的、CRTベースの手法を含め、すべての既知の方法について、ヒルベルト類多項式を計算するための最もタイトな複雑度の上限は何か？
• RQ4 実際の計算において、CRT手法の漸近的複雑度における隠れた定数は、複素解析的手法のそれと比べてどの程度か？

主な発見

• 完全に分岐しない素数に対するp進上昇アルゴリズムは、効果的であり、特異曲線が $ p^2 $ における特徴を持つ構造を活用している。
• 改善されたCRT手法は、完全に分岐する素数と完全に分岐しない素数の両方を組み込み、必要な素数の数を減らし、最大の素数も小さくしている。
• 一般化されたリーマン予想（GRH）のもとで、アルゴリズムは期待時間 $ O(|D|( ext{log}|D|)^{7+o(1)}) $ で動作する。
• ヒューリスティックには、複雑度が $ O(|D|( ext{log}|D|)^{3+o(1)}) $ に改善され、他の手法の最良の境界と一致する。
• $ H_{-56} $ は16桁の $ p $-進精度でのみ計算可能であり、係数が最大23桁の4次多項式を回復できた。
• $ D = -108708 $ の場合、完全に分岐しない素数を組み込んだCRT手法により、必要な曲線数が487,237から381,073に減少し、2.2GHz Athlon-64プロセッサ上での計算時間は18.5秒から14.2秒に短縮された。