[論文レビュー] Computing homology and persistent homology using iterated Morse decomposition

Paweł Dłotko, Hubert Wagner|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、反復的離散モース分解を用いて、体係数におけるホモロジーおよびパーシsistenteホモロジーを計算するための、グラフ理論的で新規なアルゴリズムを提案する。反復的にチェーン複体をマッチングされた細胞ペアを通じて簡略化する離散モース理論を再帰的に適用することで、行列削減を回避し、代わりに反復的グラフ操作に依存する。この手法により、任意の次元で、証明可能な正しさを保証したホモロジー計算が可能となり、スケーラブルで分散処理可能な実装の可能性を有する。

ABSTRACT

In this paper we present a new approach to computing homology (with field coefficients) and persistent homology. We use concepts from discrete Morse theory, to provide an algorithm which can be expressed solely in terms of simple graph theoretical operations. We use iterated Morse decomposition, which allows us to sidetrack many problems related to the standard discrete Morse theory. In particular, this approach is provably correct in any dimension.

研究の動機と目的

• 体係数におけるホモロジーおよびパーシステントホモロジーを計算するための、スケーラブルで次元に依存しないアルゴリズムの開発。
• 特に高次元および大規模データセットにおいて顕著な限界を示す標準的な行列削減手法の課題を克服すること。
• トポロジカルデータ解析に適した効率的なグラフアルゴリズムを活用するフレームワークの提供。
• パーシステントホモロジー計算のためのフィルトレーション付き複体への離散モース理論の一般化。

提案手法

• 本手法は反復的モース分解を用い、チェーン複体内のマッチングされた細胞ペアから再帰的にモース複体を構築する。
• 境界写像をVパスを介して追跡することで、ホモロジーを保存する形で細胞ペアを縮約する離散モース理論を適用する。
• アルゴリズムは行列代数を一切避ける完全なグラフ的演算（マッチング、走査、エッジ更新）によって動作する。
• プロセスは反復的に行われる：各モース複体が次の反復の入力となり、最終的に臨界細胞のみが残るまで繰り返される。
• パーシステントホモロジーのためには、フィルトレーションを段階的に処理し、各段階でマッチングが形成されるごとに、持久区間を報告する。
• 本手法は、Kozlovによる離散モース理論の拡張およびMischaikowとNandaによるフィルトレーションのフレームワークに裏打ちされている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列削減を回避して、ホモロジー計算を一連のグラフ操作に再定式化できるか？
• RQ2 反復的モース分解は、任意の次元においてホモロジーを保存し、正しく持久区間を計算できるか？
• RQ3 高次元または大規模データセットにおいて、標準的な行列削減よりもスケーリングが優れているか？
• RQ4 既存のグラフライブラリを用いて、本アルゴリズムを効率的に並列化できるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、任意の次元（単体的および立方体的複体を含む）において、体係数におけるホモロジー計算について、証明可能な正しさを有する。
• スミス標準形や行列削減を回避し、反復的グラフベースのマッチングと境界計算に依存する。
• フィルトレーションを順次処理することで、自然にパーシステントホモロジーをサポートし、マッチングが形成されるごとに区間を報告する。
• アルゴリズムはスケーラブルかつ並列化可能であり、既存のライブラリで効率的に実装可能な標準的なグラフ操作に基づいている。
• 完全なモース複体が存在しないにもかかわらず、ドンス・ハットのホモロジーを1つの0次元生成子として正しく計算する。
• ホモロジー保存簡略化の一般化を可能とし、画像認識におけるグラフピラミッドの性質を形式化する可能性を有する。