[論文レビュー] Computing Igusa's local zeta functions of univariate polynomials, and linear feedback shift registers

W. A. Zúñiga‐Galindo|ArXiv.org|Apr 16, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、分岐体が $ \mathbb{Q} $ である一変数多項式 $ f(x) \in \mathbb{Z}[x] $ のイグザの局所ゼータ関数 $ Z(s,f) $ を、$ p $-進積分領域の木構造的分解を用いて多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。主な貢献は、ゼータ関数の係数を明示的かつ効率的に計算可能な式として得ることであり、これにより $ f(x) \equiv 0 \mod p^m $ の $ p^m $ 進解の個数を、$ O(nd_f l_f) $ 個の算術演算で効率的に計算可能となる。

ABSTRACT

In this paper we present a polynomial time algorithm to compute the local zeta function Z(s,f) attached to a polynomial f(x) in Z[x] (in one variable, with splitting field Q) and a prime p. The algorithm reduces in polynomial time the computation of Z(s,f) to the computation of a factorization of f(x) over Q. This reduction is accomplished by constructing a weighted tree from the p-adic expansion of the roots of f(x) modulo a certain power of p, and then associating a generating function to this tree. The generating function constructed in this way coincides with the local zeta function of f(x). We also propose a new class of candidates for one-way functions based on Igusa's zeta functions attached to polynomials in one variable.

研究の動機と目的

• 分岐体が $ \mathbb{Q} $ である一変数多項式のイグザの局所ゼータ関数 $ Z(s,f) $ を多項式時間で計算するアルゴリズムの開発。
• 計算の複雑性の明示的見積もりを提供し、先行研究がそのような境界を欠いていた空白を埋める。
• イグザゼータ関数と新しいクラスの線形フィードバックシフトレジスタ（LFSR）の構築との間の関係を確立する。
• 一変数多項式 $ \mathbb{Z} $ 上で、$ \{N_m(f,p)\} $ すなわち $ p^m $ での解の個数の列を、効率的に計算する問題を解く。

提案手法

• 方法は、ニュートン多角形および特異点の解消データに基づいて、$ p $-進積分領域 $ \mathbb{Z}_p $ を分解する木構造 $ T(f, l_f) $ を用いる。
• 木 $ T(f, l_f) $ の各頂点 $ u \in T(f, l_f) $ に対して、ゼータ関数 $ Z(t,f) $ への局所的寄与 $ L_u(t) $ を、$ p $、$ l(u) $、$ W(u) $、$ W^*(B_u) $ を含む明示的な有理関数を用いて計算する。
• 級数 $ Z(t,f) = \sum c_j t^j $ の係数 $ c_j(f,p) $ は、$ c_j(f,p) = \sum_{u \in T(f,l_f)} a_j(u) $ として得られる。ここで $ a_j(u) $ は $ p $ および $ u $ の組合せ的不変量に関する有理関数である。
• アルゴリズムは、$ N_n(f,p) = p^n - \sum_{j=1}^n p^n c_{j-1}(f,p) $ の恒等式を用いて $ N_m(f,p) $ を計算し、$ O(n) $ 個の算術演算で、$ O(n \log p) $ のサイズの整数を扱う。
• 係数 $ c_j(f,p) $ の計算の複雑性は、$ O(d_f l_f) $ 個の算術演算で、二進長さ $ O(\max\{(j+l_f)\log p, \log p, \log(d_f l_f)\}) $ の整数上で抑えられる。
• 新しい LFSR の構築は、列 $ \{N_m(f,p)\} $ を基にされ、ゼータ関数を用いて効率的に計算可能であることが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐体が $ \mathbb{Q} $ である一変数多項式に対して、イグザの局所ゼータ関数 $ Z(s,f) $ を多項式時間で計算可能か？
• RQ2 このような多項式に対して、$ p^m $ での解の個数 $ N_m(f,p) $ の計算の複雑性は何か？
• RQ3 ゼータ関数の係数は、解消木 $ T(f,l_f) $ の組合せ的不変量で表現可能か？
• RQ4 イグザゼータ関数と新しい線形フィードバックシフトレジスタ（LFSR）の設計との間には、構成的リンクがあるか？
• RQ5 解の個数を数える問題（例：mod 2 での数え上げ）が NP 完全であるにもかかわらず、$ Z(s,f) $ の計算がチューリングマシン上で多項式時間で解ける問題に還元可能か？

主な発見

• 本稿では、分岐体が $ \mathbb{Q} $ である一変数多項式 $ f(x) \in \mathbb{Z}[x] $ の $ Z(s,f) $ を多項式時間で計算するアルゴリズムを提供し、計算数論における長年の未解決問題を解決した。
• ゼータ関数級数の係数 $ c_j(f,p) $ の計算の複雑性は、$ O(d_f l_f) $ 個の算術演算で、二進長さ $ O(\max\{(j+l_f)\log p, \log p, \log(d_f l_f)\}) $ の整数上で抑えられる。
• $ p^n $ での解の個数 $ N_n(f,p) $ は、係数 $ c_j(f,p) $ を用いて $ O(n) $ 個の算術演算で、$ O(n \log p) $ の二進長さの整数を扱うことで計算可能である。
• アルゴリズムは、ゼータ関数を用いて効率的に計算可能な列 $ \{N_m(f,p)\} $ を基に、新しいクラスの線形フィードバックシフトレジスタ（LFSR）を構築する。
• 本手法は、有限な木 $ T(f,l_f) $ における和として $ Z(t,f) $ を明示的に計算し、各項 $ L_u(t) $ は $ p $、$ l(u) $、$ W(u) $、$ W^*(B_u) $ に依存する有理関数として与えられる。
• 本稿では、与えられた条件下で、$ N_m(f,p) $ の計算が $ Z(s,f) $ の計算に多項式時間還元可能であり、逆に $ Z(s,f) $ の計算が $ N_m(f,p) $ の計算に多項式時間還元可能であることが確立された。