[論文レビュー] Computing K-theory and Ext for graph C*-algebras

D. Drinen, Mark Tomforde|ArXiv.org|Mar 6, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、任意の可算な有向グラフのC*-代数のK理論とExt群を計算し、先行研究の行有限グラフへの拡張を、desingularization（滑らか化）を用いて任意のグラフへと拡張する。主な貢献は、グラフC*-代数のK理論とExtが、転置頂点行列の像と核によって決定されることを示し、$ C^*(E_A) $ がExel-Laca代数 $ \mathcal{O}_A $ と常にモラータ同値でないことを示している。これは、$ C^*(E_A) $ が $ \mathcal{O}_A $ の部分代数であるにもかかわらず成り立つ。

ABSTRACT

K-theory and Ext are computed for the C*-algebra C*(E) of any countable directed graph E. The results generalize the K-theory computations of Raeburn and Szymanski and the Ext computations of Tomforde for row-finite graphs. As a consequence, it is shown that if A is a countable {0,1} matrix and E_A is the graph obtained by viewing A as a vertex matrix, then C*(E_A) is not necessarily Morita equivalent to the Exel-Laca algebra O_A.

研究の動機と目的

• 行有限グラフに限らない、任意の可算な有向グラフへのグラフC*-代数のK理論とExtの計算を一般化すること。
• RaeburnとSzymańskiが提起した、グラフC*-代数 $ C^*(E_A) $ とExel-Laca代数 $ \mathcal{O}_A $ 間の関係に関する疑問を解消すること。
• $ C^*(E_A) $ が部分代数であるにもかかわらず、常に $ \mathcal{O}_A $ とモラータ同値でないことを示すこと。
• K理論とExtがモラータ同値に関して安定であり、desingularizationを用いて計算可能であることを確立すること。

提案手法

• 任意のグラフ $ E $ を、特異点のない行有限グラフ $ F $ に変換するdesingularizationを用い、$ C^*(E) $ が $ C^*(F) $ とモラータ同値であることを示す。
• desingularizationが転置頂点行列によって定義される写像の核と余核を保存することを示す技術的補題を証明する。
• 行有限グラフに対して既知の結果を $ F $ に適用し、K理論とExtの結果を、モラータ同値に関してK理論とExtが安定であることを利用して $ E $ に戻す。
• 特異点（到達点または無限に多くの辺を発する頂点）を定義し、頂点行列 $ A_E $ をそれらに対応するブロック $ B $ と $ C $ に分解する。
• $ K_0(C^*(E)) $ を $ \begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $ の余核として計算し、 $ K_1(C^*(E)) $ を同様の写像の核として計算する。
• グラフが条件(L)を満たす場合、$ \operatorname{Ext}(C^*(E)) $ を $ (B - I \; C) $ の余核として計算する。ここで行列は積群に作用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非行有限グラフのグラフC*-代数 $ C^*(E) $ のK理論は、頂点行列を用いて計算可能か？
• RQ2 条件(L)を満たす非行有限グラフにおいて、$ C^*(E) $ のExt群は依然として計算可能か？
• RQ3 $ A $ が{0,1}-行列で $ E_A $ が関連するグラフであるとき、グラフC*-代数 $ C^*(E_A) $ は常にExel-Laca代数 $ \mathcal{O}_A $ とモラータ同値か？
• RQ4 desingularizationは、元のグラフ代数のK理論とExt不変量を保存するか？
• RQ5 $ C^*(E_A) \subseteq \mathcal{O}_A $ であるにもかかわらず、$ C^*(E_A) $ と $ \mathcal{O}_A $ の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の可算な有向グラフ $ E $ に対して、 $ K_0(C^*(E)) \cong \operatorname{coker}\begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $ が成り立ち、ここで $ B $ と $ C $ は特異点および非特異点頂点に対応する頂点行列のブロックである。
• 同じグラフに対して、 $ K_1(C^*(E)) \cong \ker\begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $ が成り立ち、同じ行列分解が用いられる。
• $ E $ が条件(L)を満たす場合、 $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) \cong \operatorname{coker}(B - I \; C) $ が成り立ち、行列は積群に作用する。
• $ E $ のすべての頂点が特異点（到達点または無限発行頂点）である場合、 $ K_0(C^*(E)) \cong \bigoplus_{E^0} \mathbb{Z} $ であり、 $ K_1(C^*(E)) \cong \{0\} $ であり、 $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) \cong \{0\} $ である。
• RaeburnとSzymańskiの例における行列 $ A $ に対して、 $ K_0(C^*(E_A)) \cong \{0\} $、 $ K_1(C^*(E_A)) \cong \{0\} $ であるが、一方で $ K_1(\mathcal{O}_A) \cong \mathbb{Z} $ であるため、 $ C^*(E_A) $ が $ \mathcal{O}_A $ とモラータ同値でないことが示された。
• $ C^*(E_A) $ が純粋に無限大で、単純かつ分離可能で、核をもつため、 $ \mathcal{O}_2 $ とモラータ同値であり、安定であるため、 $ C^*(E_A) \cong \mathcal{O}_2 \otimes \mathcal{K} $ である。