[論文レビュー] Computing L1 Shortest Paths among Polygonal Obstacles in the Plane

Danny Z. Chen, Haitao Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平面内の多角形障害物の間で$L_1$最短経路マップを計算する最適なアルゴリズムを提示する。$T$を自由空間の三角形分割に要する時間とすると、$O(T)$の時間計算量を達成する。Corridor構造と障害物コアを活用することで、問題をより小さなインスタンスに還元し、$O(\log n)$のクエリ時間と、三角形分割が最適な場合に最適な性能を実現する。

ABSTRACT

Given a point $s$ and a set of $h$ pairwise disjoint polygonal obstacles of totally $n$ vertices in the plane, we present a new algorithm for building an $L_1$ shortest path map of size O(n) in $O(T)$ time and O(n) space such that for any query point $t$, the length of the $L_1$ shortest obstacle-avoiding path from $s$ to $t$ can be reported in $O(\log n)$ time and the actual shortest path can be found in additional time proportional to the number of edges of the path, where $T$ is the time for triangulating the free space. It is currently known that $T=O(n+h\log^{1+ε}h)$ for an arbitrarily small constant $ε>0$. If the triangulation can be done optimally (i.e., $T=O(n+h\log h)$), then our algorithm is optimal. Previously, the best algorithm computes such an $L_1$ shortest path map in $O(n\log n)$ time and O(n) space. Our techniques can be extended to obtain improved results for other related problems, e.g., computing the $L_1$ geodesic Voronoi diagram for a set of point sites in a polygonal domain, finding shortest paths with fixed orientations, finding approximate Euclidean shortest paths, etc.

研究の動機と目的

• $h$個の互いに交わらない多角形障害物（合計$n$個の頂点）の間で$L_1$最短経路マップ（SPM）を計算する効率的なアルゴリズムの開発。
• 自由空間の三角形分割に相対する最適な時間計算量の達成、これは現在の問題のボトル neck である。
• 直交最短経路、$C$-方向経路、および近似ユークリッド最短経路といった関連問題へのアプローチの拡張。
• 自由空間の三角形分割と同等の時間計算量を有する$L_1$ SPMの構築が、漸近的に同じ難易度であることを示す。

提案手法

• アルゴリズムはミッチェルの連続ダイクストラのパラダイムをサブルーチンとして用い、障害物コアの集合に適応させたものである。
• 各障害物について、水平および垂直方向の4つの極端な頂点（コア）のみを考慮することで、頂点数を$O(n)$から$O(h)$に削減する。
• コアに対してアルゴリズムを適用することで$L_1$最短経路マップを構築し、$O(h \log h)$時間で処理を実行し、その後元の障害物上で再構築フェーズを実行する。
• 経路の伝搬を効率的に行い、正しく経路を再構築するため、corridor 構造を活用する。
• 標準的なクエリ性能をサポート：経路長のクエリは$O(\log n)$時間、経路の取得には辺の数に比例する追加時間。
• $c$-方向コアを用い、$c$方向によるユークリッド距離の近似を用いることで、$C$-方向経路および近似ユークリッド最短経路への一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_1$最短経路マップの構築を、自由空間の三角形分割と同等の効率にできるか。
• RQ2 最適性を失わず、障害物コアを用いて$L_1$最短経路計算をより小さなインスタンスに還元することは可能か。
• RQ3 アルゴリズムを$C$-方向経路および近似ユークリッド最短経路に拡張でき、保証された性能を持つのか。
• RQ4 $L_1$ SPMの構築は、三角形分割と同等の漸近的時間計算量を有するのか、すなわち難易度が同等であるのか。

主な発見

• アルゴリズムは、自由空間の三角形分割に要する時間$T$を用いて、$O(n)$のサイズの$L_1$最短経路マップを$O(T)$時間および$O(n)$の空間で構築する。
• 三角形分割が$O(n + h \log h)$時間で最適に行われる場合、アルゴリズムは最適な$O(n + h \log h)$時間計算量を達成する。
• 2点間の$L_1$最短経路問題に対しては、$O(n + h \log^{1+\epsilon}h)$時間で実行され、既存の最良の境界と一致する。
• $C$-方向最短経路に対しては、$c$方向について$O(n + c^2 h \log ch)$時間で解ける。ここで$c = |C|$である。
• 近似ユークリッド最短経路に対しては、$(1+\delta)$-最適な経路を$O(n + h \log^{1+\epsilon}h + (1/\delta) h \log(h/\sqrt{\delta}))$時間で計算する。
• 本稿では、$L_1$ SPMの構築が自由空間の三角形分割と漸近的に同等の時間計算量を有すること、すなわち$\Theta(T)$であることを確立した。