[論文レビュー] Computing local multipoint correlators using the numerical renormalization group

Seung‐Sup B. Lee, Fabian B. Kugler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2021

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 106被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、すべての周波数および温度領域で高い精度で局所3点および4点相関関数を計算する数値的結合生成群（NRG）手法を提示する。部分スペクトル関数（PSFs）と形式特有のカーネルを用いた再帰的畳み込みを導入することで、摂動論的でない、実周波数領域における結合相関関数およびRIXSスペクトルの計算が可能となり、Kondo物理学およびAnderson正交性の効果を含む。

ABSTRACT

Local three- and four-point correlators yield important insight into strongly correlated systems and have many applications. However, the nonperturbative, accurate computation of multipoint correlators is challenging, particularly in the real-frequency domain for systems at low temperatures. In the accompanying paper, we introduce generalized spectral representations for multipoint correlators. Here, we develop a numerical renormalization group (NRG) approach, capable of efficiently evaluating these spectral representations, to compute local three- and four-point correlators of quantum impurity models. The key objects in our scheme are partial spectral functions, encoding the system's dynamical information. Their computation via NRG allows us to simultaneously resolve various multiparticle excitations down to the lowest energies. By subsequently convolving the partial spectral functions with appropriate kernels, we obtain multipoint correlators in the imaginary-frequency Matsubara, the real-frequency zero-temperature, and the real-frequency Keldysh formalisms. We present exemplary results for the connected four-point correlators of the Anderson impurity model, and for resonant inelastic x-ray scattering (RIXS) spectra of related impurity models. Our method can treat temperatures and frequencies -- imaginary or real -- of all magnitudes, from large to arbitrarily small ones.

研究の動機と目的

• 強相関量子インピーチャモデルにおける局所多点相関関数を摂動論的でない、数値的に正確に計算するための手法を開発すること。
• 標準的ソルバー（QMC や ED）では困難な、実周波数・低温における3点および4点関数の計算という課題を克服すること。
• 全密度行列NRGアプローチを一般化し、ℓ点相関関数を扱えるようにするために、部分スペクトル関数（PSFs）の再帰的計算を導入すること。
• マトゥブラ形式、ゼロ温度実周波数形式、有限温度Keldysh形式のすべての枠組みにおいて、結合相関関数および頂点関数を高精度に計算可能にすること。
• 本手法を用いて、強相関効果（Kondo効果やAnderson正交性を含む）を捉えた、共鳴非弾性X線散乱（RIXS）スペクトルを計算すること。

提案手法

• 本手法は、多数体スペクトル情報が統合された、系に特有の部分スペクトル関数（PSFs）を導入し、一般化されたレーマン表現を用いる。
• 全密度行列（fdm）NRGフレームワークを拡張し、低次のPSFsを構築要素として用いて、3点および4点関数のPSFsを再帰的に計算する。
• 広範な周波数スケール（|ωi| ≪ |ωj|）を含む領域に対応するための反復スキームを構築し、すべてのエネルギースケールで高分解能を確保する。
• マトゥブラ形式、ゼロ温度実周波数形式、Keldysh形式の各形式特有のカーネルを用いてPSFsを畳み込み、完全な相関関数を導出する。
• 実周波数相関関数の場合は、NRGフローにおける量子化効果を補正するために、PSFsを数値的に広げて処理する。
• 4点相関関数の結合部分は、非結合寄与を差し引くことで抽出し、数値的精度を向上させる戦略を講じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に低温な状態において、実周波数領域で局所3点および4点相関関数をどのように高精度に計算できるか？
• RQ2 NRG手法を2点関数を超える多点相関関数の計算に一般化できるか？特に低エネルギー領域で指数的分解能を達成できるか？
• RQ3 Kondo効果やAnderson正交性といった強相関効果は、共鳴非弾性X線散乱（RIXS）スペクトルにどのように現れるか？
• RQ4 部分スペクトル関数（PSFs）は、多点相関関数の統一的かつ形式に依存しないフレームワークを実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 本手法は、さまざまな形式および相互作用領域において、解析的・摂動論的・QMCベンチマークをどの程度正確に再現できるか？

主な発見

• 本手法は、Andersonインピーチャモデルの結合4点相関関数を成功裏に計算し、弱結合領域では摂動論的結果と優れた一致を示した。
• Kondo領域では、ゼロ温度における4点頂点のべき乗則的挙動を正確に捉えており、X線吸収理論からの解析的予測と整合的であった。
• 中間温度領域におけるAndersonインピーチャモデルのマトゥブラ周波数4点頂点について、QMC結果を再現した。
• 無限大U極限では、Hubbard原子の正確なKeldysh 4点頂点を再現し、強相関極限における手法の正確性を裏付けた。
• Mahanインピーチャモデルおよび拡張されたAndersonモデルに対するRIXSスペクトルの計算から、それぞれAnderson正交性およびKondoスクリーニングの明確なシグナチャーが得られた。
• 本手法は、Kondoスケールをはるかに下回る温度および周波数分解能を達成し、強相関系の低エネルギー力学へのアクセスを可能にした。