[論文レビュー] Computing Optimal Assignments in Linear Time for Approximate Graph Matching

Pierre-Louis Giscard, Nils M. Kriege+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Graph Theory and Algorithms参考文献 44被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、コスト関数が木距離である場合の最適割り当てを計算する線形時間アルゴリズムを提案する。この手法により、グラフ編集距離の効率的な近似が可能になる。離散的および連続的頂点ラベルの両方に対して木メトリクスを活用することで、立方時間のハンガリアン法と比較して著しく短縮された実行時間で、ほぼ最適な性能を達成する。

ABSTRACT

Finding an optimal assignment between two sets of objects is a fundamental problem arising in many applications, including the matching of `bag-of-words' representations in natural language processing and computer vision. Solving the assignment problem typically requires cubic time and its pairwise computation is expensive on large datasets. In this paper, we develop an algorithm which can find an optimal assignment in linear time when the cost function between objects is represented by a tree distance. We employ the method to approximate the edit distance between two graphs by matching their vertices in linear time. To this end, we propose two tree distances, the first of which reflects discrete and structural differences between vertices, and the second of which can be used to compare continuous labels. We verify the effectiveness and efficiency of our methods using synthetic and real-world datasets.

研究の動機と目的

• 通常O(n³)の時間がかかるグラフマッチングにおける最適割り当ての計算ボトルネックを解消すること。
• 特定のコスト関数のもとで最適割り当てを線形時間で計算する手法を開発すること。
• 大規模なグラフ比較タスクにおける最適割り当ての実用的応用を可能にすること。
• グラフの構造的差異および連続的ラベル差異を捉える木ベースの距離メトリクスを設計すること。
• NP困難である正確なグラフ編集距離計算のスケーラブルな代替手段を提供すること。

提案手法

• 頂点間のコストを木距離メトリクスで表現することで、動的計画法を用いて線形時間で最適割り当てを実現する。
• 離散的・構造的差異を扱うための木距離関数と、連続的ラベルを扱うための別の木距離関数を導入する。
• 木距離を用いてグラフ編集距離を近似し、線形時間で頂点をマッチングする。
• Weisfeiler-Lehman部分木カーネルを用いて、コスト計算のための木構造的表現をグラフに生成する。
• 最適割り当てコストをℓ₁空間に埋め込むことで、グラフデータベースにおける効率的な近似最近傍探索を可能にする。
• 木メトリクスが、木上の動的計画法を用いて最小コスト割り当てを効率的に計算できることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数が木距離である場合、最適割り当てを線形時間で計算できるか？
• RQ2 本手法は、実世界および合成データセットにおいて、正確なグラフ編集距離をどれほどよく近似するか？
• RQ3 木ベースのコストと正確またはグリーディな手法を比較した場合、精度と実行時間のトレードオフはいかなるものか？
• RQ4 木距離は、グラフマッチングにおいて離散的および連続的頂点ラベルの両方を効果的にモデル化できるか？
• RQ5 線形時間アプローチは、グラフベースの機械学習タスクにおいて競争力ある分類精度を維持できるか？

主な発見

• コストが木距離から導かれる場合、本手法はO(n)時間で最適割り当てを計算でき、標準的なO(n³)ハンガリアン法に比べ顕著な改善を示す。
• Mutagenicityデータセットでは、Linear法がBP（78.1%）、Greedy（79.2%）、GraphHopper（73.5%）を上回る高い分類精度（81.5%）を達成した。
• Letterデータセットでは、低歪度設定において他の手法と同等またはわずかに優れた性能を示し、分類精度はLetter Lで98.8%、Letter Mで93.6%であった。
• 実行時間性能は顕著に優れており、NCI1データセットではLinear法が平均13秒で処理を完了したが、正確な手法は難易度の高いインスタンスで100秒後にタイムアウトした。
• 高編集距離ペアでは正確なグラフ編集距離から明確に乖離したが、近似最近傍分類では性能が低下しなかった。
• Weisfeiler-Lehman木表現により、BPよりもグラフ構造の特徴をより効果的に活用でき、分子データセットにおける高い精度に寄与した。