[論文レビュー] Computing persistent homology of directed flag complexes

Daniel Luetgehetmann, Dejan Govc+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文では、大規模な有限有向グラフから導かれる有向フラッグ複体の持久的ホモロジーを計算するための高パフォーマンスなソフトウェアパッケージであるFlagserを紹介する。Ripserに基づき、スケーラビリティを最適化したFlagserは、ユーザー定義のフィルトレーション、近似ホモロジー、奇数の特徴を持つ係数をサポートするなど、有向フラッグ複体の構築と持久的ホモロジー計算を効率的に行う。実際の脳の微小回路モデル（最大1000万ニューロン）を、現実的な時間とメモリで処理したことで、その有効性が実証された。

ABSTRACT

We present a new computing package Flagser, designed to construct the directed flag complex of a finite directed graph, and compute persistent homology for flexibly defined filtrations on the graph and the resulting complex. The persistent homology computation part of Flagser is based on the program Ripser [Bau18a], but is optimized specifically for large computations. The construction of the directed flag complex is done in a way that allows easy parallelization by arbitrarily many cores. Flagser also has the option of working with undirected graphs. For homology computations Flagser has an Approximate option, which shortens compute time with remarkable accuracy. We demonstrate the power of Flagser by applying it to the construction of the directed flag complex of digital reconstructions of brain microcircuitry by the Blue Brain Project and several other examples. In some instances we perform computation of homology. For a more complete performance analysis, we also apply Flagser to some other data collections. In all cases the hardware used in the computation, the use of memory and the compute time are recorded.

研究の動機と目的

• 神経科学分野の大型有向グラフ（例：再構築済み脳微小回路）の解析における計算ボトル neck を解消し、従来はメモリと時間の制約により持久的ホモロジーが非現実的であった問題を解決すること。
• 大型有向グラフの隣接行列から、効率的かつ並列に有向フラッグ複体を構築できるソフトウェアツールの開発。
• グラフおよびその結果得られる複体における柔軟なフィルトレーション戦略の実装により、多様なトポロジカルデータ分析ワークフローをサポートすること。
• 実行時間を著しく短縮しながらも高い正確性を維持する、近似ホモロジー計算モードの導入。
• 標準的なZ/2Z係数を超えて、広範なトポロジカル解析応用を可能にする、奇数の特徴を持つ係数でのホモロジー計算のサポート。

提案手法

• ユーザー定義のフィルトレーションを可能にする、頂点および辺の重み付きフィルトレーション戦略を用いて、有限有向グラフから有向フラッグ複体を構築する。
• 還元およびコバウンダリ計算アルゴリズムの変更により、Ripserベースの持久的ホモロジーパイプラインを大規模データセットに最適化する。
• 任意の数のCPUコアを用いた並列処理により、フラッグ複体の構築をスケーラブルに実行する。
• ユーザーが定義した誤差許容範囲内でバティ数および持久的ホモロジーを計算する近似ホモロジー計算関数を統合する。
• 奇数の素数体におけるホモロジー計算をサポートし、Z/2Z係数を超える応用範囲を拡大する。
• デルタ複体やトゥルナプレックスなどの特殊用途に適したバージョン（例：Flagser-count, Deltser, Tournser）を備えたモジュラーなソフトウェアスタックを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な脳微小回路再構成から得られる有向フラッグ複体に対して、持久的ホモロジーが効率的に計算可能か？
• RQ2 数百万の頂点および辺を有する非常に大きな有向グラフを処理する際、Flagserのパフォーマンスは既存のツールと比較してどの程度優れているか？
• RQ3 大規模なトポロジカル複体において、近似ホモロジー計算が実行時間をどの程度短縮しつつも正確性を維持できるか？
• RQ4 フィルトレーションの柔軟性が、神経回路などの複雑なネットワーク構造の解析に与える影響は何か？
• RQ5 Flagserは、大規模なニューラルネットワークモデルから生じる非常に高次元の単体複体を処理できるか？

主な発見

• ラットの新皮質柱（3万頂点、800万エッジ）の有向フラッグ複体を、ラップトップで30秒未満で構築した。これはかつてHPCで数日を要したタスクを、Flagserにより劇的に短縮した。
• 95％の正確性を保ちながらホモロジー近似を適用したことで、同じラット新皮質モデルの計算時間をHPCクラスタ上で数時間にまで短縮した。
• マウス皮質のPL領域（6万4千ニューロン、1750万の局所接続）では、1兆1000万個の11次元単体を含む複体を処理し、高次元複体へのスケーラビリティを実証した。
• 256コアを用いて、170万頂点、110億エッジの体感皮質モデルを処理した場合、合計で5日間の計算時間、1GBのメモリ使用量、24時間のジョブを10回に分けて完了した。
• YouTube、Facebook、テキサス/カリフォルニアの道路網といった4つの大規模な実世界ネットワークを、256コアで処理した。実行時間は3分から48分、メモリ使用量は41GB未満であった。
• トゥルナプレックスバージョン（Tournser）は、有向グラフ内のトーナメントの持久的ホモロジーを効果的に計算でき、自然なフィルトレーションをサポートし、他のフィルトレーション方式への拡張も可能である。