[論文レビュー] Computing rational points in convex semi-algebraic sets and SOS decompositions

Mohab Safey El Din, Lihong Zhi|ArXiv.org|Oct 15, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、整数係数多項式不等式で定義される凸半代数的集合における有理点を計算する多項式時間アルゴリズムを提示する。ビット複雑度は、係数のビット長を表す $\sigma$ と最大次数 $D$ を用いて $\sigma^{O(1)}D^{O(k^3)}$ で抑えられる。この手法を用いて、$\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ 上の有理係数多項式が平方和（SOS）であるかどうかを決定し、存在する場合には有理係数SOS分解を提供する。次数 $2d$ の多項式で、係数のビット長が $\tau$ である場合、分解に現れる有理係数のビット長は $\tau D^{O(k^3)}$ である。

ABSTRACT

Let ${\cal P}=\{h_1, ..., h_s\}\subset \Z[Y_1, ..., Y_k]$, $D\geq °(h_i)$ for $1\leq i \leq s$, $σ$ bounding the bit length of the coefficients of the $h_i$'s, and $Φ$ be a quantifier-free ${\cal P}$-formula defining a convex semi-algebraic set. We design an algorithm returning a rational point in ${\cal S}$ if and only if ${\cal S}\cap \Q eq\emptyset$. It requires $σ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$ bit operations. If a rational point is outputted its coordinates have bit length dominated by $σD^{\bigO(k^3)}$. Using this result, we obtain a procedure deciding if a polynomial $f\in \Z[X_1, >..., X_n]$ is a sum of squares of polynomials in $\Q[X_1, ..., X_n]$. Denote by $d$ the degree of $f$, $τ$ the maximum bit length of the coefficients in $f$, $D={{n+d}\choose{n}}$ and $k\leq D(D+1)-{{n+2d}\choose{n}}$. This procedure requires $τ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$ bit operations and the coefficients of the outputted polynomials have bit length dominated by $τD^{\bigO(k^3)}$.

研究の動機と目的

• 整数上に定義された凸半代数的集合に有理点が存在するかどうかを判定するアルゴリズムの設計。
• 有理点が存在する場合、その座標のビット長が有界であるような有理点を計算する。
• この手法を、有理係数多項式が有理係数多項式の平方和であるかどうかを判定する問題に応用する。
• 有理点の計算とSOS分解の手続きの両方についての複雑度解析を提供する。

提案手法

• 半代数的集合を量化子除去を用いて、実数上で量化子なし形式に変換する。このため、Basuら（1996）の手法を用いる。
• 整数係数をもつ非厳密な多項式不等式系の解の存在問題に、凸半代数的集合における有理点の存在問題を還元する。
• SOS条件を係数に関する正定値行列制約として表現することにより、半定値計画法の双対性を活用する。
• 解集合の有理パラメータ表示を用い、一変数多項式のすべての実根の平均が、すべての根が実数である場合に有理点を与える。
• 定義不等式の解の多様体における対称性と代数的構造を活用して、有理点を計算する。
• ビット複雑度を、$D$、$k$、$\sigma$ の関数として、中間係数のサイズと算術演算の回数の上限をとることで解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数多項式不等式で定義される凸半代数的集合が有理点を含む可能性はあり、その場合、効率的に計算可能か？
• RQ2 次数と係数サイズの上限が与えられたとき、その集合における有理点の計算のビット複雑度は何か？
• RQ3 有理係数多項式が有理係数多項式の平方和として分解可能かどうかをアルゴリズム的に判定可能か？
• RQ4 有理SOS分解が存在する場合、その計算のビット複雑度は何か？
• RQ5 実SOS分解の存在が、有理SOS分解の存在を含意する条件は何か？

主な発見

• 有理点の存在を判定するアルゴリズムは、$\sigma^{O(1)}D^{O(k^3)}$ ビット演算で実行可能であり、$\sigma$ は係数のビット長の上限、$D$ は多項式の最大次数を表す。
• 有理点が存在する場合、その座標のビット長は $\sigma D^{O(k^3)}$ 以下である。
• 有理係数多項式 $f$（次数 $2d$）が $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ 上でSOSであるかどうかを判定するには、$\tau^{O(1)}D^{O(k^3)}$ ビット演算が必要であり、$\tau$ は $f$ の係数のビット長の上限を表す。
• 多項式 $f$ が有理SOSである場合、分解に現れる有理係数多項式の係数のビット長は $\tau D^{O(k^3)}$ 以下である。
• 従来の手法に比べて顕著な改善が達成された：解多様体がすべて実根を持つ条件の下で、RationalTotalRealSolve 関数の複雑度は $\tau^{O(1)}D^{O(k)}$ である。
• 本稿では、多項式が実SOS分解を持ち、かつ解多様体が実根を持つ場合、有理SOS分解が存在し、効率的に計算可能であることを確立した。