[論文レビュー] Computing Reformulated First Zagreb Index of Some Chemical Graphs as an Application of Generalized Hierarchical Product of Graphs

Nilanjan De|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Graph theory and applications参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化された階層的積を用いて、化学的グラフの再定式化された第一Zagreb指標を計算するための新規な手法を提示する。一般化された階層的積の指標に関する一般式を導出することで、正方形コム格子、ヘキサゴナル鎖、切り詰めた立方体、ジマーフラーレン、ジグザグナノチューブ、ジセントリックデンドリマーといった重要な化学的構造の指標を効率的に計算し、これらの複雑な分子的トポロジーに対して正確な解析的結果を提供する。

ABSTRACT

The generalized hierarchical product of graphs was introduced by L. Barriére et al in 2009. In this paper, reformulated first Zagreb index of generalized hierarchical product of two connected graphs and hence as a special case cluster product of graphs are obtained. Finally using the derived results the reformulated first Zagreb index of some chemically important graphs such as square comb lattice, hexagonal chain, molecular graph of truncated cube, dimer fullerene, zig-zag polyhex nanotube and dicentric dendrimers are computed.

研究の動機と目的

• 複雑な化学的グラフの再定式化された第一Zagreb指標を計算するための一般的手法を開発すること。
• 一般化された階層的積を、トポロジカル指標計算の構造的ツールとして応用すること。
• 特定の化学的に関連するグラフの再定式化された第一Zagreb指標の正確な解析的表現を導出すること。
• 一般化された階層的積が分子構造の指標計算を簡略化する有用性を示すこと。
• 既存のトポロジカル指標理論を、階層的グラフ構成における再定式化された指標に拡張すること。

提案手法

• 2つの連結グラフの一般化された階層的積を、基礎的な構造的演算として用いる。
• 一般化された階層的積の再定式化された第一Zagreb指標の閉形式式を導出する。
• クラスタ積の特殊ケースに適用して、式を検証する。
• 導出された式を、特定の化学的グラフの指標計算に体系的かつ適用する。
• グラフ理論的性質と次数に基づくトポロジカル指標変換を活用する。
• 数値近似や列挙を必要とせず、正確な計算が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な化学的グラフに対して、再定式化された第一Zagreb指標をどのように効率的に計算できるか。
• RQ2 一般化された階層的積と再定式化された第一Zagreb指標との間の数学的関係は何か。
• RQ3 一般化された階層的積を用いて、分子グラフのトポロジカル指標の正確な値を導出できるか。
• RQ4 ナノチューブやフラーレンといった主要な化学的構造の再定式化された第一Zagreb指標は何か。
• RQ5 一般化された階層的積は、次数に基づくトポロジカル指標の計算をどのように簡略化するか。

主な発見

• 2つの連結グラフの一般化された階層的積の再定式化された第一Zagreb指標が、閉形式で導出された。
• グラフのクラスタ積が、一般化された階層的積の特殊ケースとして特定され、合成構造の指標計算が可能となった。
• 正方形コム格子の再定式化された第一Zagreb指標の正確な値が、グラフパラメータの関数として計算された。
• 導出された式を用いてヘキサゴナル鎖の指標が計算され、一貫した構造的依存性が示された。
• 切り詰めた立方体の分子グラフの再定式化された第一Zagreb指標が、本手法を用いて解析的に決定可能であることが示された。
• ジマーフラーレンとジグザグポリヘキサナノチューブは、一般化された階層的積の枠組みから、特定の再定式化された第一Zagreb指標値が導出された。