[論文レビュー] Computing solutions of Schrödinger equations on unbounded domains- On the brink of numerical algorithms

Simon Becker, Anders C. Hansen|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2020

Numerical Methods and Algorithms参考文献 70被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Solvability Complexity Index (SCI)階層を用いて、非有界領域における計算可能線形および非線形シュレーディンガー方程式の基礎的分類を確立する。多くのクラス、特に非焦点型および離散的NLSに関しては、一様な実行時間の上限を伴って解を計算可能であるが、焦点型NLSおよび特定の線形問題に関しては、爆発検出の決定不能性に起因して、根本的に計算不能であることが示されている。

ABSTRACT

We address the open problem of determining which classes of time-dependent linear Schrödinger equations and focusing and defocusing cubic and quintic non-linear Schrödinger equations (NLS) on unbounded domains that can be computed by an algorithm. We demonstrate how such an algorithm in general does not exist, yielding a substantial classification theory of which problems in quantum mechanics that can be computed. Moreover, we establish classifications on which problems that can be computed with a uniform bound on the runtime, as a function of the desired $ε$-accuracy of the approximation. This include linear and nonlinear Schrödinger equations for which we provide positive and negative results and conditions on both the initial state and the potentials such that there exist computational (recursive) a priori bounds that allow reduction of the IVP on an unbounded domain to an IVP on a bounded domain, yielding an algorithm that can produce an $ε$-approximation. In addition, we show how no algorithm can decide, and in fact not verify nor falsify, if the focusing NLS will blow up in finite time or not, yet, for the defocusing NLS, solutions can be computed given mild assumptions on the initial state and the potentials. Finally, we show that solutions to discrete NLS equations (focusing and defocusing) on an unbounded domain can always be computed with uniform bounds on the runtime of the algorithm. The algorithms presented are not just of theoretical interest, but efficient and easy to implement in applications. Our results have implications beyond computational quantum mechanics and are a part of the Solvability Complexity Index (SCI) hierarchy and Smale's program on the foundations of computational mathematics. For example our results provide classifications of which mathematical problems may be solved by computer assisted proofs.

研究の動機と目的

• 非有界領域における時間依存線形および非線形シュレーディンガー方程式のクラスが、アルゴリズムによって計算可能かどうかを特定すること。
• 所望の精度 $\epsilon$ の関数として一様な実行時間の上限を有するアルゴリズムを備えた問題を分類すること。
• 初期状態およびポテンシャルが、再帰的事前境界を用いて非有界領域問題を有界領域問題に還元可能となる条件を確立すること。
• 焦点型非線形シュレーディンガー方程式における有限時刻での爆発の決定可能性を調査すること。
• 量子力学的PDEにSCI階層を適用することで、スメールのプログラムを計算の基礎に拡張すること。

提案手法

• 解が有界立方体 $ \mathcal{C}_R $ 上で $ \mathbb{R}^d $ 上の真の解と $ \epsilon $ の $ L^2 $-ノルム内で近似できるような $ R > 0 $ を計算する再帰的アルゴリズムを提案する。
• 初期データのSobolevおよび一般化されたSobolevノルムの境界と、ポテンシャルの弱い成長条件を適用して計算可能性を保証する。
• 有界領域 $ \mathcal{C}_R $ 上での離散化技術を用い、すべてのパラメータが $ \epsilon $ から再帰的に決定されるようにする。
• 滑らかでない初期状態および粗いポテンシャルを取り扱うために、グローバル基底近似とモリフィケーションを用いる。
• シュレーディンガー方程式を解く計算複雑性を分類するためにSCI階層を適用し、計算可能と計算不能なクラスの区別を行う。
• 離散的NLSが非有界領域上でも、焦点型であっても一貫して一様な実行時間の上限を伴って計算可能であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域における線形シュレーディンガー方程式の解を、$ \epsilon $-精度および一様な実行時間で計算できるアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 焦点型立方または五次NLSの解が有限時刻で爆発するかどうかは決定可能であり、その判断は数値的に検証可能か？
• RQ3 初期状態およびポテンシャルにどのような条件下で、$ \mathbb{R}^d $ 上の初期値問題が、保証された $ \epsilon $-精度で有界領域問題に還元可能となるか？
• RQ4 初期状態およびポテンシャルにやや弱い仮定を置いた場合に、非焦点型NLSの解は一様な実行時間の上限を伴って計算可能か？
• RQ5 非有界領域における離散的NLS方程式の解は、焦点型・非焦点型のいかんに関わらず、常に一様な実行時間の上限を伴って計算可能か？

主な発見

• 滑らかさおよび初期データの計算可能性仮定がなされても、非有界領域における線形および非線形シュレーディンガー方程式の多数のクラスに対して、アルゴリズムによる解の計算は存在しない。
• 焦点型NLSの解が有限時刻で爆発するかどうかは、数値的に決定できない。この問題は決定不能である。
• 非焦点型NLSに関しては、初期状態およびポテンシャルにやや弱い仮定を置いた場合に、一様な実行時間の上限を伴って解を計算可能である。
• 非有界領域における離散的NLSの解は、焦点型・非焦点型のいかんに関わらず、常に一様な実行時間の上限を伴って計算可能である。
• 本稿は、SCI階層に基づくシュレーディンガー方程式の計算可能であるものの完全な分類理論を確立し、ノルムが爆発する場合でさえも解が計算可能である驚くべき事例を明らかにした。
• 著者らは、非有界問題を再帰的トリケーション半径 $ R $ の計算により有界問題に還元する、実装可能で効率的な構成的アルゴリズムを提供した。