[論文レビュー] Computing the full signature kernel as the solution of a Goursat problem

Thomas Cass, Terry Lyons+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2020

Anomaly Detection Techniques and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、全符号カーネルをGoursat問題に定式化することで、有界変動関数の連続的パスに対する正確なカーネル計算を可能にする効率的な計算手法を提案する。この問題は有限差分スキームにより解ける。さらに、粗いパス統合理論を用いて、幾何学的粗いパスへの結果の拡張がなされ、カーネルは粗い積分方程式の解として定式化される。

ABSTRACT

Recently there has been an increased interested in the development of kernel methods for sequential data. An inner product between the signatures of two paths can be shown to be a reproducing kernel and therefore suitable to be used in the context of data science. An efficient algorithm has been proposed to compute the signature kernel by truncating the two input signatures at a certain level, mainly focusing on the case of continuous paths of bounded variation. In this paper we show that the full (i.e. untruncated) signature kernel is the solution of a Goursat problem which can be efficiently computed by finite different schemes (python code can be found in this https URL). In practice, this result provides a kernel trick for computing the full signature kernel. Furthermore, we use a density argument to extend the previous analysis to the space of geometric rough paths, and prove using classical theory of integration of one-forms along rough paths that the full signature kernel solves a rough integral equation analogous to the PDE derived for the bounded variation case.

研究の動機と目的

• 有界変動関数の連続的パスに対して、打ち切りなしの全符号カーネルを効率的に計算するためのアルゴリズムの開発。
• 全符号カーネルとGoursat型偏微分方程式（PDE）との間の関係の確立。
• 粗いパス統合理論を用いて、幾何学的粗いパスへのカーネル計算フレームワークの拡張。
• 順序付きデータを扱うデータサイエンスの応用における正確な符号カーネル評価のためのカーネルトリックの提供。

提案手法

• 全符号カーネルを、非特徴的曲線上の初期条件を持つ、特定の種類の双曲型PDE（Goursat問題）の解として定式化する。
• 有限差分スキームを適用してGoursat問題を数値的に解き、カーネルの効率的かつ高精度な計算を実現する。
• 有界変動パスからより広い幾何学的粗いパスの空間への結果の拡張のために密度論的議論を用いる。
• 1-形式の粗いパスに 沿った積分の古典的理論を活用し、有界変動の場合のPDEと類似した粗い積分方程式を導出する。
• カーネルの定義域の適切な離散化を通じて、有限差分スキームの数値的安定性と収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全符号カーネルは打ち切りなしに正確に計算可能か？ もし可能であれば、どのように効率的に定式化できるか？
• RQ2 全符号カーネルの背後にあるPDE構造は何か？ そして、高精度で数値的に解けるか？
• RQ3 有界変動パスに対するフレームワークは、どのように幾何学的粗いパスに拡張できるか？
• RQ4 有界変動の場合に導出されたPDEの粗いパス版は存在するか？

主な発見

• 全符号カーネルは正確にGoursat問題の解であり、有限差分スキームを用いた効率的計算が可能である。
• 提案手法により、従来の打ち切り手法に起因する制限を克服し、打ち切りなしの正確なカーネル計算が実現される。
• 密度論的議論と粗いパス統合理論を用いて、フレームワークが幾何学的粗いパスに拡張される。
• 幾何学的粗いパスの全符号カーネルは、有界変動の場合のPDEと類似した粗い積分方程式を満たす。