[論文レビュー] Computing the Gromov hyperbolicity of a discrete metric space

Hervé Fournier, Anas Ismail+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、(max,min)行列積と木距離埋め込みを活用することで、離散的距離空間のGromov双曲性を計算するより高速なアルゴリズムを提示する。正確な計算はO(n^{3.69})時間、2-近似はO(n^{2.69})時間、(2 log₂n)-近似はO(n²)時間で達成され、ナイーブなO(n⁴)のブルートフォース法に比べ顕著な改善がなされた。

ABSTRACT

We give exact and approximation algorithms for computing the Gromov hyperbolicity of an n-point discrete metric space. We observe that computing the Gromov hyperbolicity from a fixed base-point reduces to a (max,min) matrix product. Hence, using the (max,min) matrix product algorithm by Duan and Pettie, the fixed base-point hyperbolicity can be determined in O(n^2.69) time. It follows that the Gromov hyperbolicity can be computed in O(n^3.69) time, and a 2-approximation can be found in O(n^2.69) time. We also give a (2 log_2 n)-approximation algorithm that runs in O(n^2) time, based on a tree-metric embedding by Gromov. We also show that hyperbolicity at a fixed base-point cannot be computed in O(n^2.05) time, unless there exists a faster algorithm for (max,min) matrix multiplication than currently known.

研究の動機と目的

• 離散的距離空間におけるGromov双曲性を計算する際のナイーブなO(n⁴)ブルートフォース法の計算非効率性を是正すること。
• 特にネットワーキングや幾何的モデリングの大型応用を想定し、正確かつ近似アルゴリズムの両方を高速化すること。
• 固定ベース双曲性計算の計算量に下界を確立し、(max,min)行列積の困難さと関連付けること。
• 実世界での利用を想定した、性能保証付きで時間計算量が低い実用的近似アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• Gromov積の定義を用いて、固定ベース双曲性計算を(max,min)行列積問題に還元する。
• DuanとPettieによるO(n^{(3+ω)/2})時間の(max,min)行列積アルゴリズム（ω < 2.373）を適用し、固定ベース点における双曲性を計算する。
• 固定ベース計算をすべてのベース点について最大化することで、全双曲性δ*への拡張を行い、時間計算量をO(n^{(5+ω)/2})とする。
• ベース点双曲性の既知の2-近似性質を活用し、δ*の2-近似をO(n^{(3+ω)/2})時間で得る。
• Gromovの木距離埋め込みを活用し、O(n²)時間で動作する(2 log₂n)-近似アルゴリズムを設計する。
• 三部グラフの負の三角形問題を固定ベース双曲性に還元することで、条件付き下界を証明し、2.05n未満の時間で固定ベース双曲性が計算可能ならば、(max,min)行列積がO(n^τ)時間で解けることになることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的距離空間のGromov双曲性は、O(n⁴)ブルートフォース法を上回る速度で計算可能か？
• RQ2 固定ベース双曲性の計算に可能な最良の時間計算量は何か？ また、(max,min)行列積とどのように関連するか？
• RQ3 対数的近似要因を達成する、実用的で計算量が低い近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 (max,min)行列積の困難さに基づいて、固定ベース双曲性計算の条件付き下界は存在するか？

主な発見

• 正確なGromov双曲性δ*は、現在の最良のω < 2.373を用いるとO(n^{(5+ω)/2}) = O(n^{3.69})時間で計算可能である。
• 固定ベース点における双曲性は、現在の行列積の境界を用いるとO(n^{(3+ω)/2}) = O(n^{2.69})時間で計算可能である。
• 任意の1つのベース点における固定ベース双曲性を計算することで、δ*の2-近似をO(n^{2.69})時間で得られる。
• Gromovの双曲空間の木距離埋め込みに基づき、O(n²)時間で動作する(2 log₂n)-近似アルゴリズムが設計可能である。
• 固定ベース双曲性がO(n^{2.05})時間で計算可能であるならば、(max,min)行列積がO(n^τ)時間で解けることになるが、τ < (3+ω)/2 ≈ 2.69であると仮定すると、これは不可能である。
• 本稿では、固定ベース双曲性の計算量と(max,min)行列積の計算量の間にきわめて密接な関係を確立し、一方の改善が他方の改善を意味することを示した。