[論文レビュー] Computing the Largest Bond of a Graph

Gabriel L. Duarte, Daniel Lokshtanov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、グラフにおける最大バインド（bond）を求める計算複雑性を調査し、平面的で二部グラフである場合ですらNP困難であることを証明している。また、P = NPでない限り定数因子近似は不可能である。著者らは、木幅または解のサイズをパrameterとして固定パラメータ tractable（FPT）であることを確立したが、NP ⊆ coNP/polyでない限り多項式カーネルは存在しないことを示しており、この問題の本質的非可解性がパラメータ化領域を超えて顕在していることを強調している。

ABSTRACT

A bond of a graph G is an inclusion-wise minimal disconnecting set of G, i.e., bonds are cut-sets that determine cuts [S,V\S] of G such that G[S] and G[V\S] are both connected. Given s,t in V(G), an st-bond of G is a bond whose removal disconnects s and t. Contrasting with the large number of studies related to maximum cuts, there are very few results regarding the largest bond of general graphs. In this paper, we aim to reduce this gap on the complexity of computing the largest bond and the largest st-bond of a graph. Although cuts and bonds are similar, we remark that computing the largest bond of a graph tends to be harder than computing its maximum cut. We show that Largest Bond remains NP-hard even for planar bipartite graphs, and it does not admit a constant-factor approximation algorithm, unless P = NP. We also show that Largest Bond and Largest st-Bond on graphs of clique-width w cannot be solved in time f(w) x n^{o(w)} unless the Exponential Time Hypothesis fails, but they can be solved in time f(w) x n^{O(w)}. In addition, we show that both problems are fixed-parameter tractable when parameterized by the size of the solution, but they do not admit polynomial kernels unless NP subseteq coNP/poly.

研究の動機と目的

• 一般グラフにおける最大バインドを計算する問題の複雑性を理解するギャップを埋めること。最大カット問題と対照的に、その複雑性を対比させる。
• 木幅および解のサイズに関して、Largest BondおよびLargest st-Bondのパラメータ化複雑性を分析すること。
• これらの問題における多項式カーネルおよび近似アルゴリズムの存在を調査すること。
• 平面的および二部グラフにおける下界を確立し、構造的制限のもとでも問題が依然として非可解であることを示すこと。

提案手法

• 木分解に基づく動的計画法を設計し、バッグにおける連結成分を分割 ρ₁ および ρ₂、および頂点部分集合 S を追跡する。
• 木分解の操作（頂点の導入、辺の導入、頂点の忘却、ノードの結合）における再帰的状態遷移を用いる。
• ベル数を用いてバッグの分割数を上限付け、木幅に基づく計算で 2^O(tw log tw) × n 時間の複雑性を導出する。
• またはコンpositions技法を用いて、近似不能性およびカーネル化の下界を証明する。
• Largest st-Bondの動的計画法定式化を修正し、すべての状態で s ∈ S および t ∉ S を固定する。
• ガウスの消去法に類似した技法を用いて、木幅に関する指数的依存性を単一指数関数的時間に削減するが、本稿では最適化の方向として挙げている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Largest Bond問題は平面的二部グラフにおいてもNP困難か？
• RQ2 Largest Bond問題は定数因子近似可能か？近似アルゴリズムの制限は何か？
• RQ3 Largest Bond問題は木幅または解のサイズをパrameterとして固定パラメータ tractable（FPT）か？
• RQ4 Largest BondおよびLargest st-Bondは標準の複雑性仮定のもとで多項式カーネルを有するか？
• RQ5 特に平面グラフにおいて、Largest Bondの複雑性は最大カット問題と比べてどう異なるか？

主な発見

• Largest Bondは、平面的二部グラフに対してもNP困難であり、一般グラフを越えて強い非可解性を示している。
• P = NPでない限り、定数因子近似アルゴリズムは存在しない。これは強い近似不能性を示している。
• Largest BondおよびLargest st-Bondは、クリーク幅 w に対して f(w) × n^O(w) 時間で解けるが、Exponential Time Hypothesis が成り立たない限り f(w) × n^o(w) 時間で解けない。
• 両問題は解のサイズ k をパrameterとして固定パラメータ tractable（FPT）であり、f(k) × n^O(1) 時間で実行可能なアルゴリズムが存在する。
• Largest BondおよびLargest st-Bondは、NP ⊆ coNP/poly でない限り多項式カーネルを有さない。これは強力なカーネル化の下界を示している。
• 木分解に基づく動的計画法は 2^O(tw log tw) × n 時間の実行時間を達成しており、ガウスの消去法に類する技法を用いることで改善の余地がある。