[論文レビュー] Computing the obstacle number of a plane graph

Matthew Johnson, Deniz Sarıöz|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平面グラフの障害物数を計算することは、平面頂点被覆問題への還元によってNP困難であることを証明している。同時に、最大次数3の平面頂点被覆問題への解値を保存する還元を通じて、固定パrameter tractable (FPT) であり、多項式時間近似スキーム (PTAS) を持つことも示している。主な貢献は、平面グラフにおける障害物表現と頂点被覆の間のきわめて緊密な関係である。

ABSTRACT

An obstacle representation of a plane graph G is V(G) together with a set of opaque polygonal obstacles such that G is the visibility graph on V(G) determined by the obstacles. We investigate the problem of computing an obstacle representation of a plane graph (ORPG) with a minimum number of obstacles. We call this minimum size the obstacle number of G. First, we show that ORPG is NP-hard by reduction from planar vertex cover, resolving a question posed by [8]. Second, we give a reduction from ORPG to maximum degree 3 planar vertex cover. Since this reduction preserves solution values, it follows that ORPG is fixed parameter tractable (FPT) and admits a polynomial-time approximation scheme (PTAS).

研究の動機と目的

• 平面グラフの障害物数を計算する計算量の複雑さを特定すること。
• 障害物表現におけるより良い近似解法や最適アルゴリズムが存在するかという未解決の問題を解明すること。
• 障害物表現問題の固定パrameter tractable (FPT) 性と多項式時間近似スキーム (PTAS) の確立。
• 障害物表現から最大次数3の平面頂点被覆問題への解値を保存する還元を提供すること。
• 障害物数が変換された双対グラフ構造における頂点被覆問題に等しいことを示すこと。

提案手法

• 平面頂点被覆問題を障害物表現問題 (ORPG) に還元することで、NP困難性を証明する。
• 頂点被覆サイズを保存するように、一般の平面グラフをサイクルとパスを用いて最大次数3の平面グラフに変換する。
• 変換されたグラフ $G^3$ の頂点被覆と正確に一致する障害物表現を持つ平面グラフ $G'$ を構築する。
• 各辺が元のグラフにおけるダイヤモンド（凸位置に隣接する2つの空の三角形）に対応する双対グラフ $\hat{G}$ を定義する。
• 双対グラフ $\hat{G}$ を用いて、障害物選択を頂点被覆問題としてモデル化し、各面が潜在的な障害物に対応する。
• 最大次数3の平面頂点被覆問題に既知のFPTおよびPTASアルゴリズムを適用して、障害物表現問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフの障害物数を計算することはNP困難か？
• RQ2 障害物表現問題は効率的に近似可能であり、多項式時間近似スキーム (PTAS) を持つか？
• RQ3 障害物表現問題は、障害物数をパラメータとして固定パrameter tractable (FPT) か？
• RQ4 障害物表現から、構造的性質が良好な既知のNP困難問題への解値を保存する還元が存在するか？
• RQ5 平面頂点被覆の既知のアルゴリズムを用いて、障害物数を効率的に計算できるか？

主な発見

• 障害物表現問題 (ORPG) は、平面頂点被覆問題への還元により、平面グラフに制限してもNP困難であることが示された。
• ORPG は、重み付き最大次数3の平面頂点被覆問題に還元可能であり、これに既知のPTASが存在するため、多項式時間近似スキーム (PTAS) を持つ。
• ORPG は、障害物数 $k$ をパラメータとして固定パrameter tractable (FPT) であり、$O(2^{4\sqrt{3k}}n)$ または $1.1616^k n^{O(1)}$ の実行時間で解ける。これは、平面頂点被覆のFPTアルゴリズムを用いることで達成される。
• ORPG から最大次数3の平面頂点被覆問題への還元は解値を保存するため、一方の問題の最適解が他方の問題の最適解に直接対応する。
• 平面グラフの非辺は、すべて、凸位置に配置された隣接する2つの空の三角形からなるダイヤモンドの共有辺を交差する必要がある。これにより、還元のための双対グラフ $\hat{G}$ の構築が可能になる。
• 平面グラフの障害物数は、各辺が元のグラフにおけるダイヤモンドに対応する構築された双対グラフ $\hat{G}$ における最小頂点被覆のサイズに等しい。