[論文レビュー] Computing the partition function of the Sherrington-Kirkpatrick model is hard on average

David Gamarnik, Eren C. Kızıldağ|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ガウス型結合とランダム外部場を伴うシェリングトン＝キルパトリックスピンガラスモデルにおける分配関数の正確な計算の平均ケース計算困難性を確立する。有限精度および実数値計算モデルを用いて、P = #Pでない限り、非負値な入力の割合に対して正確に分配関数を計算できる多項式時間アルゴリズムは存在しないことを証明する。これには、ランダム自己還元性、リストデコーディング、対数正規分布の全変動距離の境界を用いる。

ABSTRACT

We establish the average-case hardness of the algorithmic problem of exact computation of the partition function associated with the Sherrington-Kirkpatrick model of spin glasses with Gaussian couplings and random external field. In particular, we establish that unless $P= \#P$, there does not exist a polynomial-time algorithm to exactly compute the partition function on average. This is done by showing that if there exists a polynomial time algorithm, which exactly computes the partition function for inverse polynomial fraction ($1/n^{O(1)}$) of all inputs, then there is a polynomial time algorithm, which exactly computes the partition function for all inputs, with high probability, yielding $P=\#P$. The computational model that we adopt is {\em finite-precision arithmetic}, where the algorithmic inputs are truncated first to a certain level $N$ of digital precision. The ingredients of our proof include the random and downward self-reducibility of the partition function with random external field; an argument of Cai et al. \cite{cai1999hardness} for establishing the average-case hardness of computing the permanent of a matrix; a list-decoding algorithm of Sudan \cite{sudan1996maximum}, for reconstructing polynomials intersecting a given list of numbers at sufficiently many points; and near-uniformity of the log-normal distribution, modulo a large prime $p$. To the best of our knowledge, our result is the first one establishing a provable hardness of a model arising in the field of spin glasses. Furthermore, we extend our result to the same problem under a different {\em real-valued} computational model, e.g. using a Blum-Shub-Smale machine \cite{blum1988theory} operating over real-valued inputs.

研究の動機と目的

• シェリングトン＝キルパトリックスピンガラスモデルにおける分配関数を正確に計算する平均ケース計算複雑性を確立すること。
• 有限精度算術のもとで、多項式時間アルゴリズムが非負値な入力の割合に対して正確に分配関数を計算できないことを示すこと。
• 困難性の結果を実数値のブルーム＝ショーブ＝スメイ計算モデルに拡張すること。
• 一定の割合の入力に対して成功すれば、すべての入力に対して成功することを示し、Pが#Pに collapses することを証明すること。
• 複雑性理論的議論を用いて、スピンガラスモデルに対する最初の明示的困難性結果を提供すること。

提案手法

• ランダム外部場を伴う分配関数のランダムかつダウンワード自己還元性を用いる。
• Sudan [Sud96] のリストデコーディングアルゴリズムを用いて、多数の点と交差する多項式を再構築する。
• 凸摂動下での対数正規分布の全変動距離の境界を用いる。
• 多項式再構築における誤り訂正にBerlekamp-Welchアルゴリズムを適用する。
• 異なるパrameter下での分布の関係を、全変動距離を介したカップリング論法で結びつける。
• 有限精度の切り捨てと複雑性理論的還元を組み合わせ、平均ケースの困難性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限精度算術のもとで、SKモデルの分配関数の正確な計算は平均的に困難か？
• RQ2 1/n^O(1) の入力割合で成功する多項式時間アルゴリズムを、すべての入力で成功するように拡張可能か？その場合、P = #P が成り立つ。
• RQ3 平均ケースの困難性結果は、ブルーム＝ショーブ＝スメイ機械のような実数値計算モデルに拡張可能か？
• RQ4 分配関数の自己還元性は、困難性の拡張をどのように可能にするか？
• RQ5 大きな素数を法とする対数正規分布の近似一様性は、証明においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• ガウス型結合とランダム外部場を伴うSKモデルの分配関数は、有限精度算術のもとで平均的に正確に計算することが困難である。
• 多項式時間アルゴリズムが1/n^O(1) の入力割合に対して正確に分配関数を計算できるならば、P = #P である。
• 同じ困難性結果は、実数値のブルーム＝ショーブ＝スメイモデルでも成り立ち、入力の3/4 + 1/n^O(1) の割合で成功する場合を仮定すれば成立する。
• 証明は、ランダム自己還元性と凸摂動下での対数正規分布の全変動距離の境界に依存している。
• 著者らは、複雑性理論的技術を用いて、スピンガラスモデルに対する最初の明示的平均ケース困難性結果を確立した。
• 結果は、有限精度計算と実数値計算の両方の計算モデルに対して、強固に成立する。