[論文レビュー] Computing the real-time Green's Functions of large Hamiltonian matrices

T. Iitaka|ArXiv.org|Feb 11, 1998

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、非同次時間発展シュレーディンガー方程式を解くことで、大規模なスパースなハミルトニアン行列の実時間グリーン関数を数値的に計算する手法を提示する。この手法は本質的に並列処理可能であり、グリーン関数の基本的定義を反映しており、格子模型への応用を通じて、強相関系物理学の分野におけるスーパーコンピュータを用いた効率的シミュレーションの有効性が示されている。

ABSTRACT

A numerical method is developed for calculating the real time Green's functions of very large sparse Hamiltonian matrices, which exploits the numerical solution of the inhomogeneous time-dependent Schroedinger equation. The method has a clear-cut structure reflecting the most naive definition of the Green's functions, and is very suitable to parallel and vector supercomputers. The effectiveness of the method is illustrated by applying it to simple lattice models. An application of this method to condensed matter physics will be found in H. Tanaka, Phys. PRB 57, 2168 (1998).

研究の動機と目的

• 大規模なスパースなハミルトニアン行列の実時間グリーン関数を、数値的に効率的かつ並列処理可能な方法で計算すること。
• 波動関数の時間発展を用いて、グリーン関数の基本的定義を直接実装すること。
• ベクトルおよび並列スーパーコンピュータアーキテクチャ上で、グリーン関数の高性能計算を可能にすること。
• 格子模型などの強相関系物理学系に適用可能な実用的な計算フレームワークを提供すること。
• 多体物理学およびダイナミカル相関関数分野における将来的な応用を支援すること。

提案手法

• 本手法は、デルタ関数型の初期状態をもつ非同次時間発展シュレーディンガー方程式を数値的に解くことでグリーン関数を計算する。
• ハミルトニアンによる波動関数の時間発展を用いて、グリーン関数の行列要素を生成する。
• このアプローチは、実時間グリーン関数の標準的な数学的定義を明確に反映しており、明快さと正確性を確保する。
• アルゴリズムは、ベクトルおよび並列スーパーコンピュータアーキテクチャに非常に適しており、スケーラビリティを実現する。
• 大規模なハミルトニアン行列を効率的に処理するためにスパース行列技術を用い、メモリおよび計算のオーバーヘッドを最小限に抑える。
• 補足資料に記載されているように、直接応用およびテストが可能なFORTRANコードを実装している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模なスパースなハミルトニアン行列の実時間グリーン関数を、時間発展による数値的計算でどのように効率的に計算できるか？
• RQ2 実時間におけるグリーン関数の形式的定義を、最も直接的かつ計算的に実行可能なかたちで実装する方法は何か？
• RQ3 時間発展シュレーディンガー方程式は、グリーン関数の評価に実用的な計算エンジンとして利用可能か？
• RQ4 本手法は、大規模系においてベクトルおよび並列スーパーコンピュータ上でどのようにスケーリングするか？
• RQ5 単純な格子模型に適用した場合、この手法の精度と効率はどの程度か？

主な発見

• 本手法は、非同次シュレーディンガー方程式の時間発展を用いて、大規模なスパースなハミルトニアン行列の実時間グリーン関数を効果的に計算できた。
• アルゴリズムは、グリーン関数の数学的定義に直接従う明確で直感的な構造を示しており、明快さと整合性を兼ね備えている。
• 本手法は、ベクトルおよび並列スーパーコンピュータアーキテクチャへの実装に非常に適しており、大規模シミュレーションの効率的実行を可能にした。
• 単純な格子模型への適用を通じて、手法の実用的妥当性と計算的頑健性が検証された。
• 著者らはFORTRANのソースコードを提供しており、今後の強相関系物理学分野における応用に向けた生産的準備が整っていることを示している。
• H. Tanaka (Phys. Rev. B 57, 2168, 1998) の後続論文で、実際の強相関系系への応用が参照されている。