[論文レビュー] Computing the Skorokhod Distance between Polygonal Traces (Full Paper)

Rupak Majumdar, Vinayak S. Prabhu|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^n$ 内の多角形トレース間のスコロフホド距離を $L_1$、$L_2$、$L_\infty$ 範囲で計算する、最初の完全多項式時間アルゴリズムを提示する。スコロフホド距離の計算をフレシェ距離問題に還元し、新たな幾何的プリミティブを導入することで、タイミングおよび値の不一致を正確かつ効率的に計算可能となる。$m$ 個のアフィンセグメントに対して、時間計算量は $O(m^3 \cdot \log m \cdot \text{poly}(n))$ である。

ABSTRACT

The \emph{Skorokhod distance} is a natural metric on traces of continuous and hybrid systems. For two traces, from $[0,T]$ to values in a metric space $O$, it measures the best match between the traces when allowed continuous bijective timing distortions. Formally, it computes the infimum, over all timing distortions, of the maximum of two components: the first component quantifies the {\em timing discrepancy} of the timing distortion, and the second quantifies the mismatch (in the metric space $O$) of the values under the timing distortion. Skorokhod distances appear in various fundamental hybrid systems analysis concerns: from definitions of hybrid systems semantics and notions of equivalence, to practical problems such as checking the closeness of models or the quality of simulations. Despite its popularity and extensive theoretical use, the \emph{computation} problem for the Skorokhod distance between two finite sampled-time hybrid traces has remained open. We address in this work the problem of computing the Skorokhod distance between two polygonal traces (these traces arise when sampled-time traces are completed by linear interpolation between sample points). We provide the first algorithm to compute the exact Skorokhod distance when trace values are in $ eals^n$ for the $L_1$, $L_2$, and $L_{\infty}$ norms. Our algorithm, based on a reduction to Frechet distances, is fully polynomial-time, and incorporates novel polynomial-time procedures for a set of geometric primitives in $ eals^n$ over the three norms.

研究の動機と目的

• 有限で離散化された時間のハイブリッドトレース（線形補間により完成するもの、すなわち多角形トレース）間のスコロフホド距離を計算するという長年の未解決問題に取り組むこと。
• $\mathbb{R}^n$ 内の $L_1$、$L_2$、$L_\infty$ 範囲で、スコロフホド距離を計算する完全多項式時間アルゴリズムを提供すること。
• Alt と Godau (1995) が提示したフレシェに基づく手法のスケッチを、高次元および複数の範囲に一般化・形式化し、欠落している詳細を補完し、誤りを是正すること。
• スコロフホド距離計算に必要な主要な幾何的プリミティブ（球と直線の交差、さまざまな範囲での線分への距離など）のための、効率的かつ多項式時間の手続きを開発すること。

提案手法

• スコロフホド距離の計算を、変換されたノルム空間内の曲線間の関連フレシェ距離の計算に還元する。
• スコロフホド問題を、タイミング歪みと値の不一致を含む幾何最適化問題にマッピングする、新規の還元を導入する。
• $L_1$、$L_2$、$L_\infty$、$L_S^1$、$L_S^2$ 範囲において $\mathbb{R}^n$ 内の幾何的プリミティブの多項式時間アルゴリズムを、線形計画法と凸幾何学を用いて開発する。
• パラメトリックサーチと並列ソーティング技術を用いて漸近的計算量を改善するが、定数が大きくなる。
• リタイミングを定数サイズのスライディングウィンドウに制限するためのウィンドウ化最適化を適用し、値の計算を $O(m \cdot \log m)$、意思決定問題を $O(m)$ に削減する。
• 先行する計算幾何学の結果に依存せず、すべての必要な幾何的結果を第一原理から導出し、証明する、自己完結的な取り扱いを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多角形トレース間のスコロフホド距離は、$\mathbb{R}^n$ 内の $L_1$、$L_2$、$L_\infty$ 範囲で、正確に多項式時間で計算可能だろうか？
• RQ2 スコロフホド距離の計算を、高次元空間または変換された空間内でのフレシェ距離問題に還元することは可能だろうか？
• RQ3 $\mathbb{R}^n$ 内のさまざまな範囲で、スコロフホド距離計算に必要な幾何的プリミティブ（点から直線への距離、球と直線の交差など）の計算複雑度はどのようになるか？
• RQ4 リタイミングが定数サイズのスライディングウィンドウに制限される実用的状況において、アルゴリズムを最適化することは可能だろうか？
• RQ5 スコロフホド距離の計算に、最大値ではなく合計値をとる範囲への拡張は可能だろうか？

主な発見

• 2つの多角形トレース間のスコロフホド距離は、$m_x$ および $m_y$ をトレース内のアフィンセグメント数とするとき、$O\left((m_x m_y^2 + m_y m_x^2) \cdot (P(\chi) + \log(m_x m_y)) + m_x m_y \cdot H(\chi)\right)$ 時間で計算可能である。
• $L_1$ および $L_\infty$ 範囲では、幾何的プリミティブは $O(n^2)$ 時間で計算可能であり、$P(L_1) = P(L_\infty) = \text{LP}(n)$ である。ここで $\text{LP}(n)$ は線形計画法の時間計算量の上限を表す。
• $L_2$ 範囲では、プリミティブは $O(n)$ 時間で計算可能であり、$P(L_2) = n$ および $H(L_2) = n$ である。ベクトル代数と凸幾何学を用いる。
• リタイミングが定数サイズのスライディングウィンドウ $W$ に制限される場合、値の計算は $O(M \cdot P(\chi) + M \cdot \log M \cdot H(\chi))$ 時間で実行可能であり、$M = \max(m_x, m_y)$ である。意思決定問題は $O(M \cdot H(\chi))$ 時間で実行可能である。
• 本アルゴリズムは、$L_1$、$L_2$、$L_\infty$、$L_S^1$、$L_S^2$ 範囲における $\mathbb{R}^n$ 内の多角形曲線間のフレシェ距離を計算する最初の完全多項式時間手法をもたらす。
• 本手法は自己完結的であり、すべての幾何的補題および先行研究の一般化を形式的に証明しており、特に Alt と Godau (1995) のスケッチに見られる誤りを是正している。