[論文レビュー] Computing the spectral action for fuzzy geometries: from random noncommutative geometry to bi-tracial multimatrix models

Carlos I. Pérez-Sánchez|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダム非可換幾何を用いて、ファジー幾何におけるスペクトル作用を計算し、$2n$次元ディラック作用素における多項式作用を持つ二トレースマルチマトリクスモデルを導出する。2次元では6次までの明示的公式を、4次元では4次までの公式を提供し、$N$に依存しない自己随伴非可換多項式を弦図を用いて構成することで、自由確率論的かつ大$N$極限が可能になる。

ABSTRACT

A fuzzy geometry is a certain type of spectral triple whose Dirac operator crucially turns out to be a finite matrix. This notion was introduced in [J. Barrett, J. Math. Phys. 56, 082301 (2015)] and accommodates familiar fuzzy spaces like spheres and tori. In the framework of random noncommutative geometry, we use Barrett's characterization of Dirac operators of fuzzy geometries in order to systematically compute the spectral action $S(D)= \mathrm{Tr} f(D)$ for $2n$-dimensional fuzzy geometries. In contrast to the original Chamseddine-Connes spectral action, we take a polynomial $f$ with $f(x) o \infty$ as $ |x| o\infty$ in order to obtain a well-defined path integral that can be stated as a random matrix model with action of the type $S(D)=N \cdot \mathrm{tr}\, F+ extstyle\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr} \,B_i $, being $F,A_i $ and $B_i $ noncommutative polynomials in $2^{2n-1}$ complex $N imes N$ matrices that parametrize the Dirac operator $D$. For arbitrary signature---thus for any admissible KO-dimension---formulas for 2-dimensional fuzzy geometries are given up to a sextic polynomial, and up to a quartic polynomial for 4-dimensional ones, with focus on the octo-matrix models for Lorentzian and Riemannian signatures. The noncommutative polynomials $F,A_i $ and $B_i$ are obtained via chord diagrams and satisfy: independence of $N$; self-adjointness of the main polynomial $F$ (modulo cyclic reordering of each monomial); also up to cyclicity, either self-adjointness or anti-self-adjointness of $A_i $ and $B_i $ simultaneously, for fixed $i$. Collectively, this favors a free probabilistic perspective for the large-$N$ limit we elaborate on.

研究の動機と目的

• ランダム非可換幾何を用いて、$2n$次元ファジー幾何におけるスペクトル作用 $S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$ を体系的に計算すること。
• $f(x) \to \infty$ が $|x| \to \infty$ のとき成り立つ多項式 $f$ を選ぶことで、収束を保証する well-defined な経路積分を得ること。
• スペクトル作用を、$F, A_i, B_i$ が $N \times N$ 行列における非可換多項式であるような $N \cdot \mathrm{tr}\,F + \sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$ の形のランダム行列モデルとして表現すること。
• 得られた非可換多項式が $N$ に依存せず、循環的再順序付けの下で自己随伴性または反自己随伴性を満たすことを確立すること。
• 代数的および解析的性質が良好なモデルを構築することで、自由確率論による大$N$極限の基礎を築くこと。

提案手法

• ファジー幾何におけるディラック作用素のバーレット特徴付けを用い、$D$ を $2^{2n-1}$ 個の複素 $N \times N$ 行列でパrameter化する。
• 弦図を用いて、$\mathrm{Tr}\,D^m$ のような $D$ のべき乗のトレースを体系的に計算し、二トレースおよび単一トレースの寄与に分解する。
• スペクトル作用を、$F, A_i, B_i$ が非可換多項式である単一トレース項 $N \cdot \mathrm{tr}\,F$ と二トレース項 $\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$ の和として導出する。
• $F$ の $N$ に依存しない性質と自己随伴性（循環的再順序付けの下で）、各 $i$ に対して $A_i$ および $B_i$ が循環的性質に適合した自己随伴性または反自己随伴性を満たすように保証し、大$N$極限における自由確率論の適用を促進する。
• $\mathrm{Tr}\,D^2$, $\mathrm{Tr}\,D^4$, および $\mathrm{Tr}\,D^6$ の明示的公式を2次元および4次元で計算し、ミンコフスキー的およびリーマン的符号を含む。
• ガンマ行列および行列トレースの恒等式を用い、作用を整数係数を伴う弦図の和に還元する。例えば、6次の場合の $\mathrm{I}$-図では62項が寄与する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム非可換幾何を用いて、$2n$次元ファジー幾何におけるスペクトル作用を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 $f(x) \to \infty$ が $|x| \to \infty$ のとき成り立つ多項式 $f$ を用いた $S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$ のスペクトル作用の構造は何か？ これにより、well-defined な経路積分が保証される。
• RQ3 弦図は、$N \times N$ 行列における非可換多項式としての $\mathrm{Tr}\,D^m$ のトレース構造をどのように符号化するか？
• RQ4 得られた多項式 $F, A_i, B_i$ が満たす代数的および解析的性質は何か？ 特に $N$ に依存しない性質および自己随伴性に関して。
• RQ5 導出された行列モデル構造を踏まえて、スペクトル作用の大$N$極限は自由確率論によって解析可能か？

主な発見

• 2次元ファジー幾何におけるスペクトル作用は6次多項式まで明示的に計算され、一般の符号を含む $\mathrm{Tr}\,D^2$, $\mathrm{Tr}\,D^4$, および $\mathrm{Tr}\,D^6$ の公式が導出された。
• 4次元ファジー幾何では、スペクトル作用が4次多項式まで計算され、リーマン的およびミンコフスキー的符号の両方で $\mathrm{Tr}\,D^2$ および $\mathrm{Tr}\,D^4$ の明示的表現が得られた。
• 作用は二トレースマルチマトリクスモデルとして表現される：$S(D) = N \cdot \mathrm{tr}\,F + \sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$ であり、$F, A_i, B_i$ は $2^{2n-1}$ 個の複素 $N \times N$ 行列における非可換多項式である。
• $F, A_i, B_i$ は $N$ に依存せず、循環的再順序付けの下で自己随伴性（または反自己随伴性）を満たす。これにより、自由確率論的かつ大$N$極限が可能になる。
• 弦図は、$D$ のべき乗のトレースを計算する体系的な組合せ的枠組みを提供し、$\mathrm{I}$-図の6次項では62といった整数係数を伴う。
• 単一トレース寄与 $\mathcal{S}_6$ は、すべての6点弦図の和として得られ、各図の寄与はトレース恒等式および行列の縮約により計算される。