[論文レビュー] Computing the strong alliance polynomial of a graph

Walter Carballosa, Juan C. Hernández‐Gómez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Graph theory and applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、サイズごとの強防御的同盟の数を数える母関数として定義されるグラフの強同盟多項式を導入する。この多項式の性質を確立し、パス、サイクル、完全グラフ、スターダム、完全二部グラフ、ダブルスターダムといった主要なグラフ族についてその値を計算する。また、これらの多項式の中には単峰的であるものもあれば、そうでないものもあることを証明し、検証および構造的解析のための明示的な例を提示する。

ABSTRACT

We introduce the strong alliance polynomial of a graph. The strong alliance polynomial of a graph $G$ with order n and strong defensive alliance number $a(G)$ is the polynomial $a(G;x):=\sum_{i=a(G)}^{n}\, a_i(G)\ x^i$, where $a_{k}(G)$ is the number of strong defensive alliances with cardinality $k$ in $G$. We obtain some properties of $a(G; x)$ and its coefficients. In particular, we compute strong alliance polynomial for path, cycle, complete, start, complete bipartite and double star graphs; some of them verify unimodality.

研究の動機と目的

• 強防御的同盟の母関数として強同盟多項式を定義・形式化すること。
• 強同盟多項式の構造的および代数的性質（係数の振る舞いおよび単峰性を含む）を分析すること。
• パス、サイクル、完全グラフ、スターダムなどの基本的グラフタイプについて、多項式を明示的に計算すること。
• 多項式の係数列が単峰的を示す条件を調査し、単峰的および非単峰的の両方の事例を特定すること。
• 特に完全グラフにおいて、辺の削除に対する多項式の不変性と感受性を調査すること。

提案手法

• 強同盟多項式を $ a(G;x) = \sum_{i=a(G)}^{n} a_i(G) x^i $ として定義し、ここで $ a_i(G) $ はサイズ $ i $ の強防御的同盟の数を表す。
• 強防御的同盟の定義を用いる：任意の頂点 $ v \in S $ に対して $ \delta_S(v) \geq \delta_{\overline{S}}(v) $、すなわち $ \delta_S(v) \geq \delta_{\overline{S}}(v) $。
• 組合せ的数え上げ技法を用いて、$ P_n, C_n, K_n, K_{1,n}, K_{m,n}, $ およびダブルスターダムを含む特定のグラフ族について $ a_i(G) $ を計算する。
• グラフの同型不変性を用いて、同型なグラフは同一の強同盟多項式を持つことを示す。
• 係数列を分析して、明示的な例と反例を用いて単峰性をテストする。
• 辺の削除解析を用いて多項式の不変性を研究し、特に完全グラフ $ K_n $ において、非隣接辺 $ e_1,\dots,e_r $ を削除しても $ a(K_n;x) = a(K_n \setminus \{e_1,\dots,e_r\};x) $ が成り立つこと（$ r < n/2 $ のとき）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるグラフ族において、強同盟多項式の構造的および挙動的性質はどのように変化するか？
• RQ2 どのグラフ族が単峰的な強同盟多項式を生成し、どのグラフ族が生成しないか？
• RQ3 特に完全グラフにおいて、辺の削除によって強同盟多項式はどのように変化するか？
• RQ4 同型でないグラフが同一の強同盟多項式を持つことはあるか？
• RQ5 強防御的同盟数 $ a(G) $ と多項式の係数列との関係は何か？

主な発見

• C_4 の強同盟多項式は $ a(C_4;x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 $ であり、係数 $ a_2 = 4, a_3 = 4, a_4 = 1 $ で、単峰的である。
• P_4 の強同盟多項式は $ a(P_4;x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 $ であり、係数 $ a_2 = 3, a_3 = 2, a_4 = 1 $ で、単峰的である。
• 図2のグラフの強同盟多項式は $ a(G;x) = x^2 + 3x^3 + x^4 + 4x^5 + 5x^6 + x^7 $ であり、$ a_2 < a_3 > a_4 < a_5 $ のため、単峰的でない。
• 偶数の $ n $ に対して、非隣接辺を削除した場合、$ a(K_n;x) = a(K_n \setminus \{e_1,\dots,e_{n/2-1}\};x) $ が成り立つが、$ a(K_n;x) \neq a(K_n \setminus \{e_1,\dots,e_{n/2}\};x) $ であるため、閾値効果が確認される。
• 強同盟多項式はグラフ同型に対して不変であるため、同型なグラフは同一の多項式を持つ。
• 強防御的同盟数 $ a(G) $ は $ a_i(G) > 0 $ となる最小の $ i $ であり、これは $ a(G;x) $ の最低次の項を決定する。