[論文レビュー] Computing top-k Closeness Centrality Faster in Unweighted Graphs

Elisabetta Bergamini, Michele Borassi+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、未重み付きグラフにおけるトップ-$k$ クラウズネス中央性ノードを計算する新しい正確なアルゴリズムを提示する。動的上界プルーニングを組み合わせたBFSにより、教科書的および最先端の手法と比較して、性能を顕著に向上させている。Wikipediaのような実世界のネットワークでは最大87,918倍の高速化を達成し、数百万ノードおよびエッジを有するグラフにおいて、トップ-$k$ 中央性の計算を10分未塔で実行可能にしている。

ABSTRACT

Given a connected graph $G=(V,E)$, the closeness centrality of a vertex $v$ is defined as $\frac{n-1}{\sum_{w \in V} d(v,w)}$. This measure is widely used in the analysis of real-world complex networks, and the problem of selecting the $k$ most central vertices has been deeply analysed in the last decade. However, this problem is computationally not easy, especially for large networks: in the first part of the paper, we prove that it is not solvable in time $Ø(|E|^{2-ε})$ on directed graphs, for any constant $ε>0$, under reasonable complexity assumptions. Furthermore, we propose a new algorithm for selecting the $k$ most central nodes in a graph: we experimentally show that this algorithm improves significantly both the textbook algorithm, which is based on computing the distance between all pairs of vertices, and the state of the art. For example, we are able to compute the top $k$ nodes in few dozens of seconds in real-world networks with millions of nodes and edges. Finally, as a case study, we compute the $10$ most central actors in the IMDB collaboration network, where two actors are linked if they played together in a movie, and in the Wikipedia citation network, which contains a directed edge from a page $p$ to a page $q$ if $p$ contains a link to $q$.

研究の動機と目的

• 未重み付きグラフにおけるクラウズネス中央性の下で最も中心的な頂点を計算する際の理論的ハードネスバウンズを確立すること。
• 実世界の大規模ネットワークにおいて、教科書的BFSベースの手法を上回る実用的かつ正確なアルゴリズムを設計すること。
• IMDB や Wikipedia のような大規模ネットワークにおけるトップ-$k$ 最も中心的なノードを計算すること—ここでは、従来の手法では実行不可能であった。
• 事例研究を通じてアルゴリズムの有効性を検証し、直感的でない中央性のパターンを明らかにすること。

提案手法

• BFSと動的上界プルーニングを組み合わせた新しい正確なアルゴリズムを提案し、ノードの検討を早期に除外する。
• 初期上界の設定に2つの戦略、計算中の上界更新に2つの戦略を採用し、合計4つのアルゴリズムバージョンを生成する。
• 上界を用いて、$k$ 番目に大きな値を上回る可能性のないノードをプルーニングし、不要なBFS計算を削減する。
• Wikipediaの引用ネットワークの標準的および逆転グラフにアルゴリズムを適用し、異なるトポロジー的視点での中央性を分析する。
• 性能比較のためのベースラインとして、標準的な教科書的アプローチ（全ペアBFS）を用いる。
• SETHに基づく仮定として、直交ベクトル問題を用い、BFSベースの手法が最悪ケースで改善できないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な未重み付きグラフにおいて、教科書的全ペアBFSアプローチよりも、トップ-$k$ クラウズネス中央性ノードの計算が高速に行えるか。
• RQ2 最も中心的な頂点を計算する時間計算量に理論的下界が存在するか、標準的な計算複雑性仮定のもとでそれを証明できるか。
• RQ3 動的上界に基づくプルーニング技術が、実世界のネットワークにおいてBFS走査の回数を顕著に削減できるか。
• RQ4 IMDB や Wikipedia のような実世界ネットワークにおけるトップ-$k$ 中央ノードは、直感的な重要性の概念とどのように一致するか。
• RQ5 グラフとその逆転グラフの間で中央性ランキングに顕著な差が生じるか。また、これによりネットワーク構造に関する何らかのインサイトが得られるか。

主な発見

• 本稿では、Orthogonal Vector予想のもとで、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\mathcal{O}(m^{2-\epsilon})$ 時間で最も中心的な頂点を計算することは不可能であることを証明している。これはSETHに含まれる。
• 提案されたアルゴリズムは、$k=1$ の場合にWikipediaの標準グラフで1,784倍の高速化を達成し、実行時間を約39分から14秒未塔に短縮した。
• Wikipediaの逆転グラフでは、$k=1$ の場合に87,918倍の高速化を達成し、3分未塔で処理を完了した。
• $k=100$ の場合、標準グラフでは1時間20分未塔、逆転グラフでは10分未塔で実行された。
• Wikipediaの標準グラフでは、トップ10の最も中心的なページは年（例：1989、1967）であり、高い出次数と多様なトピックを接続するハブとしての役割に起因する。
• 逆転Wikipediaグラフでは、トップ10の最も中心的なページは国（例：アメリカ合衆国、第二次世界大戦、イギリス）であり、直感的な中央性の概念と一致し、以前の仮説を裏付けた。