[論文レビュー] Computing Tree Decompositions with FlowCutter: PACE 2017 Submission

Ben Strasser, Mucha, Marcin+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

この論文では、30分以内に小幅な木分解を計算するヒューリスティックアルゴリズムFlowCutterを提示している。PACE 2017 Track A2に提出されたもので、FlowCutterを用いた再帰的二分法によるマルチレベルグラフ分割を活用し、ノード分離集合を計算することで、木分解を根付きマルチレベル分割として定式化している。この手法は、すべてのインスタンスを解き、大規模グラフにおいて解の品質と耐障害性の両面で他を上回り、第2位を獲得した。

ABSTRACT

The notion of treewidth, introduced by Robertson and Seymour in their seminal Graph Minors series, turned out to have tremendous impact on graph algorithmics. Many hard computational problems on graphs turn out to be efficiently solvable in graphs of bounded treewidth: graphs that can be sweeped with separators of bounded size. These efficient algorithms usually follow the dynamic programming paradigm. In the recent years, we have seen a rapid and quite unexpected development of involved techniques for solving various computational problems in graphs of bounded treewidth. One of the most surprising directions is the development of algorithms for connectivity problems that have only single-exponential dependency (i.e., 2^{{O}(t)}) on the treewidth in the running time bound, as opposed to slightly superexponential (i.e., 2^{{O}(t log t)}) stemming from more naive approaches. In this work, we perform a thorough experimental evaluation of these approaches in the context of one of the most classic connectivity problem, namely Hamiltonian Cycle.

研究の動機と目的

• 理論的パラメータ化アルゴリズムと実用的な木分解ヒューリスティクスの間のギャップを埋める。
• 30分の制限時間内に、高速で耐障害性がありスケーラブルな小幅な木分解を計算するアルゴリズムを開発する。
• 元々最短経路の高速化を目的として開発されたマルチレベルグラフ分割技術が、木分解に効果的に再利用可能であることを示す。
• 他のソルバーが失敗するか、最適でない結果を出すような大規模で複雑なインスタンスにおいて、優れたパフォーマンスを達成する。

提案手法

• アルゴリズムは、ノード容量を用いて拡張率を最小化しつつバランスを保った条件下で、FlowCutterを用いた再帰的二分法によりノード分離集合を計算する。
• 各セルが分解におけるバッグに対応する根付きマルチレベル分割として、木分解をモデル化する。
• ノード分離集合は、FlowCutterを用い、ノード容量を考慮して計算する。
• 複数のFlowCutterインスタンスを、異なる初期ソース/ターゲットペアを用いて並列で実行し、カット品質のパレートフロントを探索する。
• 大規模インスタンスでは、エッジカットを計算し、エンドポイントを選択することでノード分離集合に変換し、時間制限内で進捗を確保する。
• 30秒ごとに木分解を更新・出力することでI/Oバッファの問題を回避し、小規模インスタンスでは事前にヒューリスティックな除去順序を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元々最短経路の高速化を目的として開発されたマルチレベルグラフ分割技術は、ヒューリスティックな木分解に効果的に適応可能か？
• RQ2 大規模で複雑なグラフにおいて、マルチレベル分割アプローチは最先端の木分解ソルバーと比較してどの程度のパフォーマンスを示すか？
• RQ3 フローに基づく二分法を木分解に用いる際、解の幅と計算効率の間にはどのようなトレードオフがあるか？
• RQ4 1つのアルゴリズムが、多様なグラフの種類とサイズにわたって、高い解の品質と耐障害性を両立できるか？
• RQ5 マルチレベル分割と根付き木分解との1対1対応関係が、新たなアルゴリズム的知見を可能にする程度はどの程度か？

主な発見

• FlowCutterは、PACE 2017 Track A2の100インスタンスすべてを解いた唯一の提出者であり、類いまれな耐障害性を示した。
• 平均的に、FlowCutterの解の幅は、最高水準の解の1.08倍であり、他のすべての競合者よりも平均近似比が優れていた。
• '≤1'および'≤2'の解の品質の閾値において、それぞれ56%および50%の成功確率を達成し、他のすべてのソルバーを上回った。
• このコンテストで第2位を獲得したが、優勝したTamakiらのソルバーは平均近似比で第5位にとどまった。
• 大規模インスタンスでは、FlowCutterは一貫して高品質な解を生成したが、コンテストの優勝者であるソルバーはしばしば解を発見できなかった。
• 小規模インスタンスでは、ヒューリスティックな除去順序（最小次数および最小フィルイン）を事前に計算することで解の品質が向上したが、大規模インスタンスでは実行不可能であった。