[論文レビュー] Computing tropical varieties over fields with valuation

Thomas Markwig, Yue Ren|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非自明な付値を持つ体上のトロピカル多様体を計算する手法を提示する。この問題は、一様化パラメータを用いたリフト構成により、冪級数環上の付値が自明な場合のトロピカル多様体の計算に還元される。主な貢献は、リフトされた理想が計算可能な部分環に属する場合、斉次イデアルに対して有限時間で実行可能なアルゴリズムを提供することであり、これによりホモジニアライゼーションを回避し、標準的なグレブナー基底ツールを効果的に利用できる。

ABSTRACT

We show how tropical varieties of ideals I over a field K with non-trivial valuation can be traced back to tropical varieties of ideals in R[[t]][x] over some dense subring R in its ring of integers. Moreover, for homogeneous ideals, we present algorithms on how the latter can be computed in finite time, provided that generators are polynomial in t. While doing so, we also comment on the computation of the Groebner polytope structure and p-adic Groebner bases using our framework. All algorithms solely rely on existing standard basis techniques.

研究の動機と目的

• 非自明な付値を持つ体上のトロピカル多様体を計算するためのアルゴリズム的枠組みの構築。
• 価値体上のトロピカル多様体の計算を、付値が自明な冪級数環上のトロピカル多様体の計算に還元すること。
• 付値環の計算可能な部分環にリフトすることで、斉次イデアルに対する有限時間計算を可能にすること。
• 従来の手法で用いられるホモジニアライゼーションおよびデホモジニアライゼーションのステップを回避すること。
• 同一の枠組み内で $p$-進グレブナー基底を構成的に計算する方法の提供。

提案手法

• 非自明な付値を持つ完備体 $K$ 上のイデアル $I \unlhd K[x]$ を、一様化パラメータ $p$ を用いて $\pi^{-1}I \unlhd R[[t]][x]$ にリフトする。
• 写像 $t \mapsto p$ を通じる $R[[t]][x] \to \mathcal{O}_K[x]$ の同型を用いて、イデアル構造を移行する。
• 重み順序の下で、$I$ のトロピカル多様体と $\pi^{-1}I$ のトロピカル多様体が同型であり、初期イデアルが保存されることを示す。
• 重みベクトル $(-1,w)$ と整合する単項式順序を用いて、$R[[t]][x]$ 上で標準的なグレブナー基底技術を適用する。
• 生成元が $R[[t]][x]$ 内にある場合、$\pi^{-1}I$ を $I' : p^\infty$ として計算する。ここで $I' = \langle g_1', \dots, g_k' \rangle + \langle p-t \rangle$ である。
• Singular ライブラリ `tropical.lib` に実装し、凸幾何計算には `gfan.lib` を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な付値を持つ体上のトロピカル多様体は、冪級数環への還元によって計算可能か？
• RQ2 イデアル $I \unlhd K[x]$ のトロピカル多様体は、その前像 $\pi^{-1}I \unlhd R[[t]][x]$ のトロピカル多様体からどのように回復できるか？
• RQ3 もし $\pi^{-1}I$ が $R[t,x]$ 上で生成されるならば、その場合にトロピカル多様体を有限時間で計算可能か？
• RQ4 価値体のためのトロピカル化アルゴリズムで、ホモジニアライゼーションおよびデホモジニアライゼーションを回避できるか？
• RQ5 この枠組み内で $p$-進グレブナー基底をどのように計算できるか？

主な発見

• 非自明な付値を持つ体上のイデアル $I \unlhd K[x]$ のトロピカル多様体 $\mathcal{T}_\nu(I)$ は、$R[[t]][x]$ 上のその前像 $\pi^{-1}I$ のトロピカル多様体 $\mathcal{T}(\pi^{-1}I)$ と同型である。
• 斉次イデアルの場合、$\pi^{-1}I$ が $R[t,x]$ の元によって生成されるならば、標準的なグレブナー基底法を用いて $\mathcal{T}_\nu(I)$ を有限時間で計算可能である。
• 前像 $\pi^{-1}I$ は $ (\langle g_1', \dots, g_k' \rangle + \langle p-t \rangle) : p^\infty $ に等しく、生成元のリフトからアルゴリズム的に構成可能である。
• 単項式順序 $>_{(-1,w)}$ に対する $R[[t]][x]$ 上のイデアル $J \unlhd R[[t]][x]$ の初期イデアル $\operatorname{in}_{>}(J)$ は、$p$ と $\overline{J}$ の正規化代表の先行項によって生成される。
• リフトされたイデアル $R[[t]][x]$ 上で直接作業することにより、ホモジニアライゼーションを回避し、計算を簡素化している。
• 同一のリフトおよび飽和メカニズムを用いて、$p$-進グレブナー基底の計算がこの枠組みで可能である。