[論文レビュー] Computing weight one modular forms over $\C$ and $\Fpbar$

Kevin Buzzard|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、モジュラー記号と高重量形式による乗算を用いて、直接的に重さ1での計算を回避することで、$\mathbb{C}$および$\overline{\mathbb{F}}_p$上の重さ1モジュラー尖点形式を体系的に計算する手法を提示する。主な貢献は、特徴値0に持ち上がらない、レベル82、mod 199の重さ1尖点形式の発見に加え、2および41を除き分岐しない、ガロア群が$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{199})$である$\mathbb{Q}$のガロア拡大の存在である。

ABSTRACT

We report on a systematic computation of weight one cuspidal eigenforms for the group $Γ_1(N)$ in characteristic zero and in characteristic $p>2$. Perhaps the most surprising result was the existence of a mod 199 weight~1 cusp form of level 82 which does not lift to characteristic zero.

研究の動機と目的

• 特徴値0および正の特徴値$p>2$における$\Gamma_1(N)$の重さ1尖点形式を体系的に計算すること。
• 特に、このような形式が希少または以前に観測されていなかった場合に、特徴値$p$におけるモジュラー形式が特徴値0に持ち上がらないことを同定すること。
• 持ち上がらない形式の明示的$q$-展開と、それらが誘導する特徴値$p$ガロア表現を通じたガロア理論的解釈を提供すること。
• 特にガロア理論的アプローチが正の特徴値で失敗する場合に、自動形式的手法による重さ1形式の計算の可能性を示すこと。

提案手法

• 重さ$k \geq 2$の尖点形式空間をモジュラー記号を用いて計算し、重さ$k \geq 1$の非零モジュラー形式$f$による乗算を用いて、重さ1形式を高重量空間へ写像する。
• 高重量形式を$f$で割ることで候補となる重さ1形式を構成し、$f$の零点での極を許容し、複数の$f$の選択に対して結果を共通部分としてとることで、正則形式を特定する。
• 固定されたレベル$N$に対して、アルゴリズムは入力$N$のみを用いて、すべての奇素数$p \nmid N$について同時に$\mod p$形式を計算できることを活用する。
• Khare–Wintenbergerの定理を用いて、$\mathbb{C}$上での重さ1固有形式と、射影的像が$A_4$、$S_4$、または$A_5$であるガロア表現を結びつけ、$\mod p$形式の検証に用いる。
• ガロア共役と還元技術を用いて、$\mod p$形式と特徴値0への持ち上げを比較し、$\mathbb{F}_p$における係数関係を用いて持ち上がらない形式を同定する。
• ガロア表現の像を$\mod p$で分析し、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$と$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$を区別する。これにはトレース条件と部分群の指数に関する議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値$p>2$におけるレベル$N$の重さ1尖点形式が、特徴値0の固有形式に持ち上がらないものが存在するか？
• RQ2 特に、その関連ガロア表現の射影的像としてのガロア理論的解釈は何か、特に持ち上がらない$\mod p$重さ1形式の文脈で。
• RQ3 高重量形式による乗算と結果の共通部分をとるという手法が、$\Gamma_1(N)$の正則重さ1尖点形式空間の厳密な計算を可能にするか？
• RQ4 重さ1形式から生じる$\mod p$ガロア表現の射影的像として、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$と$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$をどのように区別できるか？

主な発見

• レベル82、mod 199の重さ1尖点形式が存在し、特徴値0に持ち上がらない。これは、正の特徴値における持ち上がらない形式の明示的例を提供する。
• この形式に付随するガロア表現の射影的像は$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{199})$であり、それに対応する$\mathbb{Q}$のガロア拡大は2および41を除き分岐しない。
• このmod 199形式は、$\ell \neq 2, 41, 199$である素数$\ell$に対して、係数関係$\overline{a}_\ell = a_\ell / \chi(\ell)$を満たす。ここで$\overline{a}_\ell = a_\ell^{199}$はガロア共役を表す。
• フロベニウス元の固有値に関するトレースおよび指数の議論を用いて、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{199})$を除外することで、ガロア表現の像が$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{199})$であることが示された。
• $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{199})$に対応する部分拡大は$\mathbb{Q}(\sqrt{41})$であり、分岐の性質とガロア群の構造が確認された。
• この手法は、入力として$N$のみを用いて、特徴値0および$\mod p$形式を一度の実行で正しく計算でき、非持ち上げ形式が存在するすべての素数$p$を特定した。