[論文レビュー] Computing with Classical Real Numbers

Cezary Kaliszyk, Russell O’Connor|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2008

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Coqの古典的実数（標準ライブラリから）とCoRNの構成的実数の間の同型を確立する。その根拠は、古典的公理がΠ¹₀文の決定可能性を示すことに起因する。これにより相互運用性が可能となり、Coqの標準ライブラリの戦略（例：fourier）をCoRNの構成的実数における不等式の証明に使用できるようになる。一方で、CoRNの意思決定手続きを用いて古典的不等式を検証可能となり、両方の形式化間で自動化された推論が可能になる。

ABSTRACT

There are two incompatible Coq libraries that have a theory of the real numbers; the Coq standard library gives an axiomatic treatment of classical real numbers, while the CoRN library from Nijmegen defines constructively valid real numbers. Unfortunately, this means results about one structure cannot easily be used in the other structure. We present a way interfacing these two libraries by showing that their real number structures are isomorphic assuming the classical axioms already present in the standard library reals. This allows us to use O'Connor's decision procedure for solving ground inequalities present in CoRN to solve inequalities about the reals from the Coq standard library, and it allows theorems from the Coq standard library to apply to problem about the CoRN reals.

研究の動機と目的

• Coqの古典的実数（標準ライブラリ）と構成的実数（CoRN）の間の不適合性を解消するため、形式的な同型を確立すること。
• Coqの実数の古典的公理が、構成的解釈を可能にする重要な論理的帰結であるΠ¹₀文の決定可能性を示すことを示すこと。
• Coqの標準ライブラリ戦略（例：fourier）を同型を通じてCoRNの構成的実数に適用可能にするために、ライブラリ間の推論を可能にすること。
• CoRNの意思決定手続きを拡張し、古典的不等式を自動で検証可能にすることで、構成的環境における自動推論を強化すること。

提案手法

• Coqの古典的実数公理から論理的帰結を導出し、特にΠ¹₀文がこれらの公理のもとで決定可能であることを証明すること。
• Π¹₀文の決定可能性を用いて、古典的存在証明（Propにおけるもの）を構成的存在（Setにおけるもの）に構成的に変換すること。
• Coqの古典的実数とCoRNの構成的実数構造との間の双対的同型を定義し、算術および順序演算を保存すること。
• 同型を用いて、両者の形式化間で不等式と仮定を翻訳し、戦略の再利用を可能にすること。
• Coqの型システムとセットイド再書き換えを用いて、項とゴールを同型を通じてマッピングする翻訳メカニズムを実装すること。
• Coq 8.2のセットイド再書き換えを活用し、翻訳プロセスの最適化と自動化を図り、パフォーマンスを向上させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Coqの古典的実数公理が、構成的解釈を可能にするΠ¹₀文の決定可能性を示すことを証明できるか？
• RQ2 古典的公理と論理的帰結のみを用いて、実数に関する古典的存在証明を構成的に実現することは可能か？
• RQ3 古典的および構成的実数構造の間の同型を形式的に確立し、それをライブラリ間の推論を可能にするためにどのように利用できるか？
• RQ4 Coqの標準ライブラリ戦略（例：fourier）を、CoRNの構成的実数形式化における問題に効果的に適用できるか？
• RQ5 CoRNの意思決定手続きを用いて、古典的実数枠組みにおける不等式を自動で検証できるか？

主な発見

• Coqの標準ライブラリの古典的実数公理が、Π¹₀文の決定可能性を示すことを示した。これは、構成的実現可能性に広範な影響を与える非自明な結果である。
• 古典的実数は、構成的実数構造のすべての公理を満たしており、CoRNの実数との形式的同型を構築することが可能である。
• 同型のおかげで、Coqのfourier戦略を用いて、CoRNの構成的実数における不等式を自動で証明できる。問題が古典的枠組みに翻訳されるからである。
• 翻訳メカニズムにより、CoRNの意思決定手続きを用いて、実数式を含む一連の厳密な不等式の自動証明が可能になった。
• Π¹₀の決定可能性に関する補題は、Coq 8.2のリリースに統合された。同型および翻訳戦略は、CoRNの次期リリースで利用可能になる。
• 本アプローチにより、双方向の推論が可能になった：古典的定理はCoRNの実数に適用可能であり、CoRNの構成的意思決定手続きは古典的不等式を検証可能である。