[論文レビュー] Computing with highly mixed states

Andris Ambainis, Leonard J. Schulman+1 more|ArXiv.org|Mar 29, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、k量子ビットが純粋状態にあり、残りのn−kが最大混合状態にあるモデルにおける量子計算を調査する。このモデルにおいて、任意のm量子ビットの量子計算をシミュレートすることは、m = O(k + log n)でない限り不可能であることが証明され、現実的な初期化制約下での混合状態量子計算における計算能力の根本的限界を示している。

ABSTRACT

We consider quantum computing in the k-qubit model where the starting state of a quantum computer consists of k qubits in a pure state and n-k qubits in a maximally mixed state. We ask the following question: is there a general method for simulating an arbitrary m-qubit pure state quantum computation by a quantum computation in the k-qubit model? We show that, under certain constraints, this is impossible, unless m=O(k+ log n).

研究の動機と目的

• 純粋状態にあり、残りが最大混合状態にあるモデルで、任意の量子計算をシミュレートできるかどうかを明らかにすること。
• 低極化度の純粋状態への二項分布を示す液体NMR系におけるスケーラブルな量子計算の可能性を評価すること。
• 少数の初期化済み（クリーン）量子ビットが、多数の最大混合状態の量子ビットを伴う状況下でも、普遍的な量子計算を可能にするかを調査すること。
• このような混合状態量子計算モデルにおける計算能力の理論的限界を確立すること。
• 対称群の表現と、このモデルにおける量子状態の識別可能性との関係を探索すること。

提案手法

• k量子ビットが純粋状態にあり、n−kが最大混合状態にある1量子ビットモデルを分析し、初期状態を固定とし、入力は量子操作のシーケンスのみとする。
• 量子状態が量子ビットの置換に対して示す不変性を、対称群の表現論を用いて分析する。
• 対称群作用に対して不変な部分空間の次元に関する上限を適用し、状態の識別可能性に制限をもたらす。
• 群作用下での部分空間の交差次元と全体の次元および既約表現の数の関係を示す、鍵となる不等式（補題7）を適用する。
• 対称群構造を保存するユニタリ操作は、エンタングルメントや重ね合わせがどれほど生成できるかを制限することを用いる。
• トレース距離と符号化された状態の識別可能性に基づく確率的議論を用い、信頼性のあるシミュレーションがO(k + log n)量子ビットまでに制限されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋状態にあるk量子ビットと最大混合状態にある残りの量子ビットを持つモデルで、任意のm量子ビットの量子計算をシミュレートできるか？
• RQ2 k個のクリーン量子ビットとn−k個の最大混合状態の量子ビットがある状況で、このようなシミュレーションが可能な最大の量子ビット数mは何か？
• RQ3 1クリーン量子ビットモデル（k=1）は、O(log n)量子ビットを超えて普遍的量子計算を実行できないのはなぜか？
• RQ4 対称群の対称性は、この混合状態モデルにおける量子状態の識別可能性をどのように制限するか？
• RQ5 1個のクリーン量子ビットを含む3量子ビットモデルは、すべてのNC1言語をシミュレートできるか？ もしそうなら、なぜこれはQNC1に拡張できないのか？

主な発見

• k量子ビットが純粋状態にあるモデルでは、m = O(k + log n)でない限り、任意のm量子ビットの量子計算をシミュレートすることは不可能である。
• シミュレーションの能力は、クリーン量子ビットの数とnに関する対数的スケーリングによって根本的に制限されており、大きなmに対しては古典的全探索と同等の効率にとどまることになる。
• 主な結果は、特に群作用下での不変部分空間の次元を制限することにより、対称群の表現論を用いて導出される。
• 補題7は定量的上限を確立する：|dim(X ∩ W_t) − dim(X ∩ Y ∩ W_t)| ≤ √(4cn/M) ⋅ dim W_t であり、証明の中心的役割を果たす。
• 符号化された状態の識別可能性はmとともに指数的に減少し、O(k + log n)量子ビットを超えては信頼性のある計算が不可能になる。
• 制限があるものの、1個のクリーン量子ビットを含む3量子ビットレジスタは、NC1に属するすべての言語をシミュレートでき、モデル内での非自明な計算能力を示している。