[論文レビュー] Computing with rational symmetric functions and applications to invariant theory and PI-algebras

Francesca Benanti, Silvia Boumova+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 64被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Elliottの1903年における組合せ的技法とMacMahonの$Ω$-微積分を用いて、有理対称関数の重複度級数を計算するアルゴリズム的手法を開発する。これにより、不変体論、PI代数、非可換不変体論におけるヒルベルト級数およびコキャラクター列の明示的計算が可能になる。主たる貢献は、分母が二項係数の積$1 - x^a$であるような「よい」有理対称関数の重複度級数が、自身も有理関数であることを証明し、長年のコドメイン漸近論および不変量に関する問題に対する構成的アプローチを提供することにある。

ABSTRACT

Let the formal power series f in d variables with coefficients in an arbitrary field be a symmetric function decomposed as a series of Schur functions, and let f be a rational function whose denominator is a product of binomials of the form (1 - monomial). We use a classical combinatorial method of Elliott of 1903 further developed in the Partition Analysis of MacMahon in 1916 to compute the generating function of the multiplicities (i.e., the coefficients) of the Schur functions in the expression of f. It is a rational function with denominator of a similar form as f. We apply the method to several problems on symmetric algebras, as well as problems in classical invariant theory, algebras with polynomial identities, and noncommutative invariant theory.

研究の動機と目的

• 対称代数およびPI代数における有理対称関数の重複度級数を効果的に計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 不変体論および非可換代数におけるヒルベルト級数およびコキャラクター列の構成的計算における空白を埋めること。
• Bereleの重複度級数の有理関数性に関する理論的結果を、古典的分割分析を用いたアルゴリズム的枠組みへと拡張すること。
• Weitzenböck微分作用素の下での不変体代数のヒルベルト級数を計算するために、この手法を応用すること、特に$UT_2$-不変量およびトレース代数に対して。

提案手法

• Elliottの1903年の手法とMacMahonの$Ω$-微積分（分割分析）を用い、線型ディオファントス方程式系の非負整数解の母関数を体系的に計算する。
• この手法を用いて、有理対称関数$f(X)$をシュール関数展開に分解し、重複度級数$M(f;X)$を有理関数として計算する。
• 相対的自由代数のヒルベルト級数を$d$変数の対称関数に変換し、その後重複度級数計算を適用してコキャラクター列を抽出する。
• Weitzenböck微分作用素のジョルダン標準形に基づく代入規則を用いて、全代数のヒルベルト級数を不変部分代数のヒルベルト級数に写像する。
• 記号計算技術を用いて、重複度級数$M(f;x_1,\dots,x_d)$の閉形式有理表現を導出し、出力が入力と同じ形の分母を持つ有理関数であることを保証する。
• 古典的不変体論の既知の例（例えば、トレース代数や$UT_2$-不変量）に対してこの手法を検証し、既存の結果と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分母が二項係数の積$1 - x^a$であるような「よい」有理対称関数の重複度級数をアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 このような関数の重複度級数は有理関数のままであり、その閉形式を明示的に導出できるか？
• RQ3 この手法を、特に$UT_2$-不変量に対して、Weitzenböck微分作用素の下での不変体代数のヒルベルト級数の計算に応用できるか？
• RQ4 PI代数のコキャラクター列は、そのヒルベルト級数の重複度級数とどのように関係し、構成的に計算可能か？
• RQ5 この手法は、非可換不変体論における混合および純粋トレース代数へとどの程度一般化可能か？

主な発見

• 任意の「よい」有理対称関数$f$の重複度級数$M(f;x_1,\dots,x_d)$は、$f$と同じ形の分母を持つ有理関数であり、Bereleの理論的結果をアルゴリズム的構成によって確認・拡張する。
• $d=3$で1つの3次元Weitzenböck微分作用素を持つ相対的自由代数$F(U_2(K))$に対して、不変量のヒルベルト級数は$H(F_3(U_2(K))^\delta;t) = \frac{1-2t+t^2+4t^3-2t^4}{(1-t)^3(1-t^2)^2}$として明示的に計算され、本手法によって得られた。
• $d=4$で2つの$2\times2$ジョルダン細胞を持つ場合、不変量のヒルベルト級数は$H(F_4(U_2(K))^\delta;t) = \frac{1+10t^3+23t^4+2t^5-8t^6+2t^8}{(1-t)^2(1-t^2)^5}$ となり、本手法のスケーラビリティを示している。
• 本手法により、特定の代数において$UT_2$-不変量とWeitzenböck不変量のヒルベルト級数が一致することが確認され、Corollary 4.9および例4.10で検証されている。
• 3次元および1次元のジョルダン細胞を持つ混合トレース代数$T_{23}$に対して、不変量のヒルベルト級数は$H(T_{23}^\delta;t) = \frac{1+2t^2+2t^3+2t^4+t^6}{(1-t)^2(1-t^2)^3(1-t^3)^2(1-t^4)}$ であり、$UT_2$-不変量の級数と一致する。
• 本手法により、2変数の対称関数に対する重複度級数$M(f;x_1,x_2)$が成功裏に計算され、$M'(f;v_1,v_2) = \frac{1 - (v_1^2 + v_2)t + \cdots}{(1 - v_1^2 t)^2 (1 - v_2 t) (1 - v_2^2 t^2)^2}$ などの有理式が得られ、$v_1=v_2=1$ での評価により最終的なヒルベルト級数が得られる。