[論文レビュー] Concave transforms of filtrations and rationality of Seshadri constants

Alex Küronya, Catriona Maclean+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、断片的フィルトレーションの凹型変換と抽象的グレード付き可換・トーション自由半群のニュートン–オクヌフォフ体との間の関係を確立し、凹型変換の部分グラフが自身がニュートン–オクヌフォフ体であることを示している。この結果を応用して、セーシャドリ定数の有理化基準を証明する。具体的には、特定のラインバンドルのブLOW-UP上の体積が有理数（例えば、そのセクション環が有限生成の場合）であるならば、そのセーシャドリ定数も有理数であることを示している。

ABSTRACT

We show that the subgraph of the concave transform of a multiplicative filtration on a section ring is the Newton--Okounkov body of a certain semigroup, and if the filtration is induced by a divisorial valuation, then the associated graded algebra is the algebra of sections of a concrete line bundle in higher dimension. We use this description to give a rationality criterion for certain Seshadri constants. Along the way we introduce Newton--Okounkov bodies of abstract graded semigroups and determine conditions for their slices to be Newton--Okounkov bodies of subsemigroups.

研究の動機と目的

• 抽象的グレード付き可換・トーション自由半群へのニュートン–オクヌフォフ体の一般化を行い、Z^n の部分半群に限らない理論の拡張を行う。
• フィルトレーションの凹型変換の部分グラフが、明示的な半群および代数のニュートン–オクヌフォフ体であることを示し、特にフィルトレーションが除法的値関数から生じる場合にその応用を示す。
• ブLOW-UP面上のラインバンドルの体積の整数性を用いて、セーシャドリ定数の有理化基準を確立する。
• 一般半群枠組みの下で、フィルタリングされたニュートン–オクヌフォフ体の取り扱いを統一し、新しい幾何的・代数的構成により既知の結果を回復する。
• 制限された部分半群を用いて、漸近的に凸な半群の体積に対する整数公式を導出し、文献に既存の結果を一般化する。

提案手法

• Z^n の部分半群から一般化された、抽象的グレード付き可換・トーション自由半群に対するニュートン–オクヌフォフ体を定義する。
• セクション環上のフィルトレーションの凹型変換を導入し、その部分グラフが特定の半群のニュートン–オクヌフォフ体であることを証明する。
• フィルトレーションが除法的値関数から生じる場合、関連する次数代数が高次元における明示的なラインバンドルの切断に対応することを示す。
• フォビニの定理と既知の体積公式を用いて、凹型変換の積分をブLOW-UPラインバンドルの体積を通じてセーシャドリ定数に関連付ける。
• [25]におけるセクション環の有限生成に関する基準を適用し、体積の有理化を保証することで、セーシャドリ定数の有理化を示す。
• ブLOW-UP上のラインバンドルがビッグかつネフである条件を確立し、セクション環の有限生成性と体積の有理化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z^n に埋め込まれていない抽象的グレード付き可換・トーション自由半群に対しても、ニュートン–オクヌフォフ体を定義できるか？
• RQ2 セクション環上のフィルトレーションの凹型変換の部分グラフは、明示的な半群のニュートン–オクヌフォフ体であるか？
• RQ3 滑らかで射影的な曲面上のラインバンドルのセーシャドリ定数が有理数である条件は何か？
• RQ4 凹型変換の積分は、セーシャドリ定数およびブLOW-UP上のラインバンドルの体積とどのように関係するか？
• RQ5 特定のブLOW-UP上のラインバンドルのセクション環の有限生成性から、セーシャドリ定数の有理化を導けるか？

主な発見

• 乗法的フィルトレーションの凹型変換の部分グラフは、明示的な半群のニュートン–オクヌフォフ体であり、フィルトレーションが除法的値関数から生じる場合、高次元における明示的なラインバンドルのニュートン–オクヌフォフ体に対応する。
• 滑らかで射影的な曲面に対して、$\widetilde{X}$ 上のラインバンドル $\widetilde{L}$ の体積が有理数（例えば、$R(\widetilde{X}, \widetilde{L})$ が有限生成である場合）であるならば、セーシャドリ定数 $\varepsilon(L;x)$ は有理数である。
• 積分 $\iota(L;x) = \int_{\Delta_{Y_\bullet}(L)} \phi_{v_x}$ は、$\iota(L;x) \geq \frac{\varepsilon(L;x)^{n+1}}{(n+1)! \cdot (L^n)}$ を満たし、等号は $\varepsilon(L;x) = \mu(L;x)$ のとき成立する。
• もし $\varepsilon(L;x)$ が無理数であれば、$\iota(L;x)$ も無理数であるため、$\iota(L;x)$ が有理数であることは $\varepsilon(L;x)$ が有理数であることを示唆する。
• 整数 $b$ が $\varepsilon(L;x) < b < \varepsilon(L-K_X;x) - 2$ を満たし、かつ $\widetilde{L} - K_{\widetilde{X}}$ がビッグかつネフであるならば、$\varepsilon(L;x)$ は有理数である。
• 特に、$\varepsilon(-K_X) \geq 3$ ならば、このような整数 $b$ が存在するため、ブLOW-UP上の負の曲線の知識がなくても $\varepsilon(L;x)$ は有理数である。