[論文レビュー] Concentration and limit behaviors of stationary measures

Wen Huang, Min Ji+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、常微分方程式に対する乗法的ホワイトノイズ摂動によって駆動されるFokker-Planck方程式の定常測度の濃縮および極限挙動を調査する。リャプノフ関数とweak∗-コンパクト性を用いて、ノイズが消える極限において、定常測度が元の系のグローバルアトラクターに台を持つ不変測度に弱収束することを確立する。さらに、強い局所的アトラクター／リペラー構造がある場合には、ノイズの許容性に応じて、極限測度がこれらの集合に濃縮されるか回避されるかが決まる。この結果は、確率的ホップ分岐への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we study limit behaviors of stationary measures of the Fokker-Planck equations associated with a system of ordinary differential equations perturbed by a class of multiplicative including additive white noises. As the noises are vanishing, various results on the invariance and concentration of the limit measures are obtained. In particular, we show that if the noise perturbed systems admit a uniform Lyapunov function, then the stationary measures form a relatively sequentially compact set whose weak$^*$-limits are invariant measures of the unperturbed system concentrated on its global attractor. In the case that the global attractor contains a strong local attractor, we further show that there exists a family of admissible multiplicative noises with respect to which all limit measures are actually concentrated on the local attractor; and on the contrary, in the presence of a strong local repeller in the global attractor, there exists a family of admissible multiplicative noises with respect to which no limit measure can be concentrated on the local repeller. Moreover, we show that if there is a strongly repelling equilibrium in the global attractor, then limit measures with respect to typical families of multiplicative noises are always concentrated away from the equilibrium. As applications of these results, an example of stochastic Hopf bifurcation is provided. Our study is closely related to the problem of noise stability of compact invariant sets and invariant measures of the unperturbed system.

研究の動機と目的

• 乗法的ホワイトノイズを伴うODEの確率的摂動における定常測度の極限挙動を分析すること。
• 元の系のグローバルまたは局所的アトラクター／リペラーに、これらの極限測度が濃縮される条件を特定すること。
• 極限測度が強く反発する平衡点を回避する条件を確立すること。
• 不変集合の確率的安定性と、許容可能なノイズ族の存在との関係を結ぶこと。
• 決定的力学系におけるノイズ安定性を理解するための分布ベースの枠組みを提供すること。

提案手法

• Itô型SDE dx = V(x)dt + G(x)dW に付随するFokker-Planck方程式を分析する。
• 元の系に一様なリャプノフ関数を用いて、定常測度の相対的逐次コンパクト性を証明する。
• weak∗-位相収束を適用して、極限測度が元の系の不変測度であることを同定する。
• 極限測度の濃縮挙動を制御するため、許容可能な乗法的ノイズ族の概念を導入する。
• 隔離近傍とC2境界条件を用いて、強い局所的アトラクター／リペラーを特徴付ける。
• リャプノフ／アンチリャプノフ関数を用いて、力学的構造と確率的安定性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズが消える極限において、ノイズ摂動の定常測度が、元の系の不変測度に弱収束する条件は何か？
• RQ2 極限測度が、元の系のグローバルアトラクターに濃縮されるのはいつか？
• RQ3 許容可能な乗法的ノイズ族の選択により、極限測度が強い局所的アトラクターに濃縮されるか、または強い局所的リペラーを回避できるか？
• RQ4 強い反発的平衡点がグローバルアトラクターに存在する場合、極限測度の濃縮にどのような影響を与えるか？
• RQ5 Fokker-Planck方程式は、ノイズ付き力学系の長期的分布的挙動をどのように特徴付けるか？

主な発見

• 元の系に一様なリャプノフ関数が存在する場合、定常測度の族はweak∗-位相において相対的逐次コンパクトであり、すべてのweak∗-極限測度は元の系の流れに関して不変である。
• グローバルアトラクターに強い局所的アトラクターが含まれる場合、すべての極限測度がその局所的アトラクターに濃縮されるような許容可能な乗法的ノイズ族が存在する。
• グローバルアトラクターに強い局所的リペラーが含まれる場合、すべての極限測度がその局所的リペラーに濃縮されないような許容可能な乗法的ノイズ族が存在する。
• グローバルアトラクターに強く反発する平衡点が存在する場合、典型的な許容可能な乗法的ノイズ族に対して、極限測度は常にその平衡点から遠ざかって濃縮される。
• 結果は、確率的ホップ分岐の例に応用され、分岐によって誘発されるアトラクター付近の濃縮挙動を示している。
• 本稿では、不変集合の確率的安定性と、それらを保持または回避するノイズ族の存在との間の厳密な関係を確立している。