[論文レビュー] Concentration estimates in a multi-host epidemiological model structured by phenotypic traits

Jean‐Baptiste Burie, Arnaud Ducrot+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、表現型的特徴によって構造化されたマルチホスト疫学的モデルを分析し、変異カーネル幅 $ε \to 0$ の下での定常解の漸近的挙動に注目する。病原体の分布が各ホスト内で適応度を最大化する表現型的特徴に集中することを証明し、$ε$ が小さい場合の正の定常解の局所的安定性を確立し、非局所作用素のスペクトル解析を用いた位相的次数論的議論により一意性を導出する。

ABSTRACT

In this work we consider an epidemic system modelling the evolution of a spore-producing pathogen within a multi-host population of plants. Here we focus our analysis on the study of the stationary states. We first discuss the existence of such nontrivial states by using the theory of global attractors. Then we introduce a small parameter epsilon that characterises the width of the mutation kernel, and we describe the asymptotic shape of steady states with respect to epsilon. In particular, we show that the distribution of spores converges to the singular measure concentrated on the maxima of fitness of the pathogen in each plant population. This asymptotic description allows us to show the local stability of each of the positive steady states in the regime of narrow mutations, from which we deduce a uniqueness result for the nontrivial stationary states by means of a topological degree argument. These analyses rely on a careful investigation of the spectral properties of some non-local operators.

研究の動機と目的

• 表現型的特徴構造を有するマルチホスト病原体モデルにおける非自明な定常状態の存在と一意性を研究すること。
• 変異カーネルが細くなる（$\varepsilon \to 0$）際の定常解の漸近的形状を分析すること。
• スペクトル理論を用いて、小さい $\varepsilon$ における正の定常解の局所的安定性を確立すること。
• 安定性に基づく位相的次数論的議論を用いて、非自明な均衡の唯一性を証明すること。

提案手法

• 表現型的特徴に依存する2種類のホストを想定した、非局所なPDEとODEの連立系を定式化する。
• 変異カーネル $m_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-N} m(x/\varepsilon)$ をスケーリングする小さなパラメータ $\varepsilon \ll 1$ を導入し、希少な変異を表現する。
• 力学系の議論とKrein-Rutman定理を用いて、非自明な均衡の存在を証明する。
• 非局所作用素のスペクトル解析を用いて、主固有値および関連固有関数の性質を研究する。
• 射影作用素 $\Pi$ と漸近展開技術を用いて、反復作用素の収束を分析する。
• 位相的次数論を適用し、局所的安定性と正のスペクトル射影に基づいて、正の定常解の一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変異率 $\varepsilon$ がゼロに近づくとき、表現型的特徴を有するマルチホスト病原体モデルにおける定常解はどのように振る舞うか？
• RQ2 変異が希少な場合、病原体の分布は表現型的特徴空間のどこに集中するか？
• RQ3 この非局所系における正の定常解の局所的安定性を保証する条件は何か？
• RQ4 非局所性とマルチホスト構造の下でも、非自明な均衡の一意性を確立できるか？
• RQ5 非局所作用素 $L^\varepsilon$ のスペクトル的性質は、システムの長期的挙動をどのように規定するか？

主な発見

• ${\varepsilon \to 0}$ のとき、病原体の分布は各ホスト集団内で適応度を最大化する表現型的特徴の集合に集中する特異測度に収束する。
• 十分に小さい ${\varepsilon}$ に対して、線形化作用素のスペクトル解析により、各正の定常解が局所的漸近安定であることが示された。
• 非局所作用素の主固有値 ${r_\sigma(L^\varepsilon)}$ が長期的成長率を支配し、安定性を決定する。
• 反復作用素 ${(L^\varepsilon)^n}$ の漸近的挙動は、支配的固有空間への射影に収束し、適応度最大点での集中を確認する。
• 局所的安定性と正のスペクトル射影に基づく位相的次数論的議論により、非自明な定常解の一意性が確立された。
• 解析により、弱い変異下で病原体の特性が最適適応度値へ進化する「集中現象」がシステムに見られることを確認した。