[論文レビュー] Concentration inequalities on product spaces with applications to Markov processes

Gordon Blower, François Bolley|arXiv (Cornell University)|May 25, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ポリッシュ空間上の弱く依存するマルコフ過程から生じる積測度に対して、ドブロシント＝ショロマン型の結合条件の下で、ガウス型濃縮および輸送不等式を確立する。独立変数の古典的結果を依存する設定へと拡張し、濃縮パラメータの明示的かつ最適順序の定数を導出する。特にオーナイズト・ウーレンプ過程およびARMAモデルへの鋭い応用を含む。

ABSTRACT

For a stochastic process with state space some Polish space, this paper gives sufficient conditions on the initial and conditional distributions for the joint law to satisfy Gaussian concentration inequalities, transportation inequalities and also logarithmic Sobolev inequalities in the case of the Euclidean space. In several cases, the obtained constants are of optimal order of growth with respect to the number of variables, or are independent of this number. These results extend results known for mutually independent variables to weakly dependent variables under Dobrushin-Shlosman type conditions.

研究の動機と目的

• 独立確率変数から弱く依存するマルコフ過程へのガウス型濃縮不等式の拡張。
• 連合分布が濃縮および輸送不等式を満たすために初期分布および遷移分布に必要な十分条件の確立。
• 変数の数に最適に応じて成長する、明示的かつ鋭い濃縮パラメータの定数の導出。
• オーナイズト・ウーレンプ過程を標準的例として用い、これらの定数の最適性を示す。
• 適切なモーメント条件の下で、ユークリッド空間における対数ソボレフ不等式への結果の拡張。

提案手法

• 遷移核間の依存度をワッサーシュタイン距離 $W_1$ で定量化し、遷移写像が状態空間から確率測度の空間への $L$-リプシッツ性を満たすことを要請する。
• テンソル化およびチェイニングの議論を用いて、初期測度および遷移核からの濃縮を、積空間 $X^n$ 上の連合分布へと伝播させる。
• カントロヴィッチ＝ルブリンシュテイン双対性を用いて、ガウス型濃縮 $GC(\theta)$ と輸送不等式 $T_1(1/\theta)$ の同値性を確立する。
• マルコフ的依存性の下で、濃縮パラメータの明示的公式 $\kappa_n = \kappa_1 \sum_{m=1}^n \left( \sum_{k=0}^{m-1} L^k \right)^2$ を導出する。
• 直接的な指数モーメントの計算により、定数の鋭さを検証するため、オーナイズト・ウーレンプ過程をテストケースとして用いる。
• 遷移核上のリプシッツおよび濃縮条件の検証により、ARMA過程への結果の適用を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立な場合を除く弱く依存するマルコフ過程への積測度の濃縮不等式の拡張は可能か？
• RQ2 初期分布および遷移核にどのような条件が課されれば、連合分布がガウス型濃縮を満たすか？
• RQ3 導出された濃縮定数は変数の数に対してどのように振る舞い、それらは最適か？
• RQ4 結果はユークリッド空間における対数ソボレフ不等式へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 明示的な確率過程を用いて、不等式の定数が鋭いかを示せるか？

主な発見

• 時定常マルコフ過程の連合分布 $P^{(n)}$ は、$(X^n, d^{(1)})$ 上で $GC(\kappa_n)$ を満たし、$\kappa_n = \kappa_1 \sum_{m=1}^n \left( \sum_{k=0}^{m-1} L^k \right)^2$ である。ここで $L$ は遷移核写像のリプシッツ定数である。
• オーナイズト・ウーレンプ過程では、導出された $\kappa_n$ が直接計算された和 $\sum_{j=1}^n \xi_j$ の分散と一致し、境界の最適性が証明される。
• 定数 $\kappa_n$ は $L \geq 1$ のとき $n$ に比例して成長し（例：$\rho = 0$）、$L < 1$ のとき有界に保たれる（例：$\rho > 0$）。これは指数モーメントの実際の成長と一致する。
• 輸送不等式 $T_1(1/\kappa)$ は $GC(\kappa)$ と同値であり、導出された定数は、同じ関数クラスに対して不等式を満たすより良い定数が存在しないという意味で鋭い。
• ユークリッド空間 $\mathbb{R}^m$ の場合、モーメントおよびリプシッツ条件の下で、連合分布は対数ソボレフ不等式を満たし、$\theta = 1$ のとき順序が最適であり、$\theta > 1$ のとき指数的に減少する定数を有する。
• ARMA過程が要求される条件を満たすことが示され、拡散過程に限らないフレームワークの適用可能性が示された。