[論文レビュー] Concentration of risk measures: A Wasserstein distance approach

L. A. Prashanth, Sanjay P. Bhat|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、CVaR、CPT値、スペクトルリスク測度を含む2つの広範なクラスにわたるリスク測度の経験的推定値の集中境界を導出するため、統一的なワッサーシュタイン距離に基づくフレームワークを提案する。推定誤差をワッサーシュタイン距離と関連づけ、最近の集中結果を活用することで、正規分布型、超正規分布型、および重い尾を持つ分布に対して、より緊密なまたは同等の境界を提供する。応用例として確率的バンディット問題が提示される。

ABSTRACT

This paper presents a unified approach based on Wasserstein distance to derive concentration bounds for empirical estimates for a broad class of risk measures. The results cover two broad classes of risk measures which are defined in the paper. The classes of risk measures introduced include include as special cases well known risk measures from the finance literature such as conditional value at risk (CVaR), spectral risk measures, utility-based shortfall risk, cumulative prospect theory (CPT) value, and rank dependent expected utility. Two estimation schemes are considered, one for each class of risk measures. One estimation scheme involves applying the risk measure to the empirical distribution function formed from a collection of i.i.d. samples of the random variable (r.v.), while the second scheme involves applying the same procedure to a truncated sample. The bounds provided apply to three popular classes of distributions, namely sub-Gaussian, sub-exponential and heavy-tailed distributions. The bounds are derived by first relating the estimation error to the Wasserstein distance between the true and empirical distributions, and then using recent concentration bounds for the latter. Previous concentration bounds are available only for specific risk measures such as CVaR and CPT-value. The bounds derived in this paper are shown to either match or improve upon previous bounds in cases where they are available. The usefulness of the bounds is illustrated through an algorithm and the corresponding regret bound for a stochastic bandit problem involving a general risk measure from either of the two classes introduced in the paper.

研究の動機と目的

• CVaR や CPT値といった特定のケースを除いて、経験的リスク測度推定の一般的な集中境界が不足しているという問題に取り組むこと。
• 主なファイナンスリスク測度を特別ケースとして含む2つの広範なクラスを導入することで、リスク測度の分析を統一すること。
• 完全なサンプリングと切り捨てられたサンプリングの両方のスキーム下で、経験的リスク推定値の有限標本集中境界を導出すること。
• ワッサーシュタイン距離を真の分布と経験的分布の誤差への橋渡しとして用いることで、既存の集中結果を重い尾を持つ分布へと拡張すること。
• 確率的バンディットアルゴリズムを用いて実用的有用性を示し、導出されたリスク測度集中境界に基づくレグルレーション境界を導出すること。

提案手法

• リスク測度の推定誤差を真の累積分布関数と経験的累積分布関数の間のワッサーシュタイン距離に関連づけること。
• 独立同分布の下で、真の分布と経験的分布の間のワッサーシュタイン距離の最近の集中境界を適用すること。
• 導入された2つのクラスにおけるリスク測度のリプシッツ性と、ワッサーシュタイン集中結果を組み合わせることで、リスク測度の集中境界を導出すること。
• 2つの推定スキームを検討する：1つは完全な経験的分布を用い、もう1つはロバストネス向上のための切り捨てられたバージョンを用いる。
• 各分布クラス（正規分布型、超正規分布型、重い尾を持つ分布）に対して、既知のワッサーシュタイン集中レートを活用することで、フレームワークを3つの分布クラスへと拡張すること。
• 境界を確率的バンディット設定に適用し、リスク測度が行動選択を指導致す状況において、対応するレグルレーション境界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CVaR や CPT値といった特定の例を除いて、広範なリスク測度クラスに対して統一的なフレームワークを構築し、集中境界を導出することは可能か？
• RQ2 真の分布と経験的分布の間のワッサーシュタイン距離は、一般のリスク測度の推定誤差とどのように関連するか？
• RQ3 導出された境界は、CVaR や CPT値といった代表的なリスク測度に対して、既存の境界をどれほど改善するか、あるいは同等のものとなるか？
• RQ4 正規分布型、超正規分布型、重い尾を持つ分布といった異なる尾の挙動下で、境界はどのように振る舞うか？
• RQ5 一般のリスク測度を用いた確率的バンディット設定において、集中境界を効果的に用いてレグルレーション境界を導出することは可能か？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、CVaR、スペクトルリスク測度、ユーティリティベースのショートフォールリスク、CPT値、ランク依存期待ユーティリティを含む2つの広範なリスク測度クラスの集中境界を提供する。
• 推定誤差を真の分布と経験的分布の間のワッサーシュタイン距離に関連づけることで、最近の集中結果の適用が可能になる。
• 正規分布型および超正規分布型の分布に対しては、CVaR や CPT値といった特定のリスク測度に対して既存の結果と同等またはそれを上回る境界が得られる。
• ワッサーシュタイン集中レートの既知の結果を活用することで、重い尾を持つ分布に対してもフレームワークが拡張可能であり、ここでは従来の境界が限界に達していた分野をカバーする。
• 完全な経験的分布と切り捨てられた経験的分布の両方に対して境界が適用可能であり、重い尾の状況下でのロバストネスが向上する。
• 確率的バンディット問題のためのアルゴリズムが開発され、導出されたリスク測度集中境界により、非漸近的レグルレーション境界が得られ、実用的有用性が実証された。