[論文レビュー] Concentration of the adjacency matrix and of the Laplacian in random graphs with independent edges

Roberto I. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Graph theory and applications参考文献 56被引用数 158

ひとこと要約

この論文は、独立な辺確率をもつランダムグラフの隣接行列およびラプラシアンに対して鋭い集中不等式を確立し、最小期待次数が ω(ln n) を超えるとき、それらが期待重み付きグラフの対応する行列の周囲に集中することを示している。主な貢献は、Freedmanのスカラー結果を一般化する新しい行列マルティンゲール集中不等式であり、これによりスペクトルノルムのタイトなバウンドが得られ、結合パーコレーションおよび非一様ランダムグラフへの応用が可能になる。

ABSTRACT

Consider any random graph model where potential edges appear independently, with possibly different probabilities, and assume that the minimum expected degree is omega(ln n). We prove that the adjacency matrix and the Laplacian of that random graph are concentrated around the corresponding matrices of the weighted graph whose edge weights are the probabilities in the random model. While this may seem surprising, we will see that this matrix concentration phenomenon is a generalization of known results about the Erös-Rényi model. In particular, we will argue that matrix concentration is implicit the theory of quasi-random graph properties. We present two main applications of the main result. In bond percolation over a graph G, we show that the Laplacian of the random subgraph is typically very close to the Laplacian of G. As a corollary, we improve upon a bound for the spectral gap due to Chung and Horn that was derived via much more complicated methods. In inhomogeneous random graphs, there are points X_1,...,X_n uniformly distributed on the interval [0,1] and each pair is connected with probability p kappa(X_i,X_j). We show that if \ln n/n<< p<< 1 and kappa is bounded, then the adjacency matrix of the random graph is close to an integral operator defined in terms of kappa. Our main proof tool is a new concentration inequality for matrix martingales that generalizes Freedman's inequality for the standard scalar setting.

研究の動機と目的

• 独立辺形成をもつランダムグラフにおいて、隣接行列およびグラフラプラシアンがその期待値に対応する行列の周囲に高確率で集中することを確立すること。
• Freedmanのスカラー不等式を行列設定に一般化する新しい行列マルティンゲール集中不等式を開発すること。
• 集中不等式を結合パーコレーションに適用し、パーコートグラフのスペクトルギャップに関するバウンドを改善すること。
• 平均次数が ω(ln n) である非一様ランダムグラフにおいて、隣接行列が核 κ によって定義される積分作用素によって近似可能であることを示すこと。
• 最小次数の緩い条件下で、隣接行列およびラプラシアン行列の典型的な振る舞いが、期待値によってよく近似可能であることを示すこと。

提案手法

• 差分が有界なマルティンゲールに対する新しい行列集中不等式を導出し、Freedmanの不等式をエルミート確率行列に拡張する。
• 輪郭積分とリゾルベント解析を用いて、2つの行列に関連する射影作用素の差のスペクトルノルムをバウンドする。
• リゾルベント恒等式およびノイマン級数展開を用いて、摂動された行列のリゾルベントの差を制御する。
• スペクトル定理および固有値の交互配置を用いて、行列摂動とスペクトル射影の変化との関係を関連付ける。
• 最小期待次数が ω(ln n) であると仮定して、独立辺をもつランダムグラフに行列集中結果を適用する。
• 積分作用素近似を用いて、非一様ランダムグラフの隣接行列を n が大きい極限において核関数 κ によって定義される作用素に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立辺をもつランダムグラフの隣接行列が、期待重み付きグラフの隣接行列の周囲に高確率で集中するのはどのような条件下か？
• RQ2 スパarsなランダムグラフモデルで、非一様な辺確率をもつ場合、グラフラプラシアンに対してどのように行列集中を確立できるか？
• RQ3 Freedmanのスカラー不等式を行列設定に一般化する新しい行列マルティンゲール不等式を開発できるか？
• RQ4 結合パーコレーションは元のグラフのスペクトル的性質をどの程度維持するのか、そして行列集中を用いてどのように定量的に表現できるか？
• RQ5 核 κ をもつ非一様ランダムグラフにおいて、隣接行列は核 κ によって定義される積分作用素によってどの程度よく近似可能か？

主な発見

• 独立辺をもつランダムグラフの隣接行列は、高確率で期待重み付きグラフの隣接行列の周囲に集中し、誤差が O(√(Δ ln n)) となる。ここで Δ は最大期待次数を表す。
• ラプラシアン行列は、高確率でその期待値の周囲に集中し、誤差が O(√(ln n / d)) となる。ここで d は最小期待次数を表す。
• 最小期待次数が ω(ln n) であるグラフにおける結合パーコレーションにおいて、パーコートラプラシアンは通常、元のラプラシアンの p 倍に近く、スペクトルギャップに関する先行のバウンドを改善する。
• 新しい行列マルティンゲール集中不等式は、独立成分をもつ確率行列のスペクトル的性質を分析する一般化されたツールを提供し、グラフ理論を越えて応用可能である。
• 平均次数が ω(ln n) である非一様ランダムグラフにおいて、隣接行列は核 κ によって定義される積分作用素によって、きわめてよく近似可能である。これは緩い正則性条件のもとで成り立つ。
• 濃度のバウンドは、密度の高いグラフおよび準ランダムモデルにおいて、定性的に鋭く、集中が成立しない場合にちょうど自明になる。