[論文レビュー] Concentration phenomena for the nonlocal Schrödinger equation with Dirichlet datum

Juan Dávila, Manuel del Pino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、小刻みパラメータ $ε \to 0$ の下で内部点に集中する非局所シュレーディンガー方程式のディリクレ境界条件に対する解を構成する。変分還元のアプローチを用いて、集中点が、境界からの距離の多項式的スケーリングを持つ低次元エネルギー関数を最小化することを示す。これは、古典的で指数的スケーリングとは対照的である。主な結果として、解 $U_\varepsilon$ がスケーリングされた基底状態に $O(\varepsilon^{n+2s})$ の誤差で近似され、集中点が境界から一様に離れていることが保証される。

ABSTRACT

For a smooth, bounded domain $Ω$, $s\in(0,1)$, $p\in \left(1,\frac{n+2s}{n-2s} ight)$ we consider the nonlocal equation $$ ε^{2s} (-Δ)^s u+u=u^p \quad {\mbox{in}}Ω$$ with zero Dirichlet datum and a small parameter $ε>0$. We construct a family of solutions that concentrate as $ε o 0$ at an interior point of the domain in the form of a scaling of the ground state in entire space. Unlike the classical case $s=1$, the leading order of the associated reduced energy functional in a variational reduction procedure is of polynomial instead of exponential order on the distance from the boundary, due to the nonlocal effect. Delicate analysis is needed to overcome the lack of localization, in particular establishing the rather unexpected asymptotics for the Green function of $ ε^{2s} (-Δ)^s +1$ in the expanding domain $ε^{-1}Ω$ with zero exterior datum.

研究の動機と目的

• 有界領域 $\Omega$ における非局所シュレーディンガー方程式 $\varepsilon^{2s}(-\Delta)^s U + U = U^p$ の解の存在を確立し、$\varepsilon \to 0$ の下で内部点に集中するようにすること。
• 変分還元を経由して得られる低次元エネルギー関数を最小化することによって、集中点の位置を特徴づけること。
• 拡大領域における非局所作用素 $(-\Delta)^s + 1$ のグリーン関数およびロビン関数の漸近的挙動を分析し、非局所作用素に内在する局在性の欠如を克服すること。
• エネルギー展開の主要項が境界からの距離に対して多項式的スケーリングを示すことを示し、これは古典的ケースにおける指数的スケーリングと対照的である。これは、分数階ラプラシアンの非局所的性質に起因する。

提案手法

• 元の問題をスケーリング $u(x) = U(\varepsilon x)$ で変換し、領域を $\Omega_\varepsilon = \Omega / \varepsilon$ にシフトさせ、固定作用素 $(-\Delta)^s + 1$ を持つ拡大領域での問題に変換する。
• 一次近似 $\bar{u}_\xi$ を、$\Omega_\varepsilon$ における線形問題 $(-\Delta)^s \bar{u}_\xi + \bar{u}_\xi = w_\xi^p$ の解として定義する。ここで $w_\xi(x) = w(x - \xi)$ であり、$w$ は $\mathbb{R}^n$ における基底状態である。
• ライプニッツ＝シュレーディンガー還元を適用し、集中点の位置を制御する低次元汎関数 $H_\varepsilon(\xi)$ の臨界点を見つける問題に還元する。
• エネルギー展開の推定 $I_\varepsilon(\bar{u}_\xi) = I_0 + \frac{1}{2} H_\varepsilon(\xi) + o(\varepsilon^{n+4s})$ を行い、ここで $H_\varepsilon(\xi)$ はグリーン関数の正則部に依存し、非局所相互作用を捉える。
• 境界から一様に離れた $\xi$ に対して、$\alpha / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s} \leq H_\varepsilon(\xi) \leq \beta / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s}$ という鋭い多項式的バリアー評価を、ロビン関数 $H_\varepsilon(x, \xi)$ に対してバリア法および比較原理を用いて確立する。
• 最近確立された $\mathbb{R}^n$ における基底状態 $w$ の非退化性を活用し、ライプニッツ＝シュレーディンガー還元の正当化と、近似解 $\bar{u}_{\xi_\varepsilon}$ の周囲に一意解が存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階ラプラシアンの非局所的性質は、ディリクレ境界条件付きシュレーディンガー方程式の解の集中プロファイルおよび集中点にどのように影響を与えるか？
• RQ2 拡大領域における作用素 $(-\Delta)^s + 1$ のグリーン関数およびロビン関数の漸近的挙動は何か？古典的ケースとはどのように異なるか？
• RQ3 非局所的ケースではエネルギー展開の主要項が境界からの距離に対して多項式的スケーリングを示すが、これはなぜ古典的ケース（$s=1$）では指数的スケーリングとなるのか？
• RQ4 非局所性および非局所的相互作用のため、局在性に欠ける状況下でも、変分還元アプローチが非局所方程式の集中解を構成するために成功するか？
• RQ5 集中点の正確な位置は何か？また、それは領域の幾何構造および非局所エネルギー汎関数によってどのように決定されるか？

主な発見

• 十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、非局所シュレーディンガー方程式の解 $U_\varepsilon$ が存在し、内部点 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ に集中する。ここで $\|U_\varepsilon(x) - w\left(\frac{x - \tilde{\xi}_\varepsilon}{\varepsilon}\right)\|_{L^\infty} \leq C \varepsilon^{n+2s}$ が成り立ち、$C$ は $\varepsilon$ および $\Omega$ に依存しない。
• 集中点 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ は境界から一様に離れており、ある $\varepsilon$ に依存しない定数 $c > 0$ を用いて $\text{dist}(\tilde{\xi}_\varepsilon, \partial\Omega) \geq c$ を満たす。
• $\tilde{\xi}_\varepsilon$ の位置は、$\Omega_\varepsilon$ におけるグリーン関数の正則部を用いて定義される汎関数 $H_\varepsilon(\xi)$ の最小化子として特徴づけられ、$O(\varepsilon^{n+4s})$ の誤差の範囲で成り立つ。
• $\xi$ が境界から少なくとも距離 $5$ 離れている場合、$\alpha / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s} \leq H_\varepsilon(\xi) \leq \beta / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s}$ が成り立ち、$\alpha, \beta > 0$ は $\varepsilon$ に依存しない。
• エネルギー展開 $I_\varepsilon(\bar{u}_\xi) = I_0 + \frac{1}{2} H_\varepsilon(\xi) + o(\varepsilon^{n+4s})$ は、非局所効果が境界からの距離に対して多項式的減衰を引き起こすことを示し、これは $s=1$ の古典的ケースにおける指数的減衰と対照的である。
• 証明は、グリーン関数およびロビン関数 $H_\varepsilon(x, \xi)$ の微細な解析に依存し、バリア構成および比較原理を用いて、拡大領域 $\Omega_\varepsilon$ 内の非局所相互作用を制御する。