[論文レビュー] Concentration phenomena in high dimensional geometry

Olivier Guédon|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 85被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、高次元幾何における集中現象を調査し、対象として対数凹型およびs-凹型確率測度を扱う。凸体および確率ベクトルの等方的定数に関する鋭い境界を確立し、特に(−1/r)-凹型等方的ベクトルが測度の集中を強く示すことを証明する。特にℓ²ノルムに関しては、共分散行列推定や高次元における体積計算アルゴリズムの改善に寄与する明示的な尾部境界が得られる。

ABSTRACT

The purpose of this note is to present several aspects of concentration phenomena in high dimensional geometry. At the heart of the study is a geometric analysis point of view coming from the theory of high dimensional convex bodies. The topic has a broad audience going from algorithmic convex geometry to random matrices. We have tried to emphasize different problems relating these areas of research. Another connected area is the study of probability in Banach spaces where some concentration phenomena are related with good comparisons between the weak and the strong moments of a random vector.

研究の動機と目的

• 高次元空間における測度の集中現象の背後にある幾何的・確率的メカニズムを理解すること。
• 凸体および対数凹型測度に対する等方的定数LKの均一な境界を確立し、それらを超平面（スライシング）予想に関連付けること。
• バナッハ空間における確率ベクトルのモーメントおよび集中の解析に新たなツールを開発すること、特にs-凹型およびψ₂型ベクトルに焦点を当てる。
• これらの結果を、体積計算や高次元における共分散行列推定といったアルゴリズム的問題に応用すること。
• 古典的なモーメント比較不等式（弱モーメント対強モーメント）を、対数凹型およびs-凹型測度の設定に拡張すること。

提案手法

• プリコパ＝レインデラーの不等式および幾何的解析を用いて、対数凹型測度の特徴付けと線形変換および畳み込みにおける安定性を調べる。
• 対数凹型関数fに対して、集合Kp(f)の族を導入し、それが凸であることを証明し、fの等方的定数と関連付ける。
• ガウスの集中とゴードンのミニマックス定理を用いて、確率ベクトルのH(p, λ)仮定を通じてモーメント比較不等式を導出する。
• Zp体の双対性および線形形式によるノルム近似を用いて、線形関数のp次のモーメントを制御する。
• 慣性楕円体と確率的ラウンドイングを用いて、凸体をほぼ等方的配置に配置し、効率的な体積計算を可能にする。
• 等周不等式およびスぺクトルギャップ推定に基づいて混合時間の境界を得た、マルチフェーズモンテカルロアルゴリズムを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸体の等方的定数とその関連する対数凹型測度の測度の集中現象との間にどのような関係があるか。
• RQ2 対数凹型またはs-凹型確率ベクトルの弱モーメントと強モーメントは、次元に依存しない一様な定数を用いて比較可能か。
• RQ3 (−1/r)-凹型確率ベクトルがどの程度H(p, λ)仮定を満たし、その結果としてモーメントおよび尾部境界にどのような影響を与えるか。
• RQ4 等方的s-凹型ベクトルのℓ²ノルムの集中性質をどのように活用して共分散行列推定を改善できるか。
• RQ5 s-凹型ベクトルの標本共分散行列の収束の最適レートは何か。また、rおよびnにどのように依存するか。

主な発見

• 超平面予想は、すべての次元およびすべての凸体に対して等方的定数LKの一様有界性と同値である。
• 任意の対数凹型関数fに対して、Lf ≤ c n^{1/4} が成り立ち、これにより以前の境界が改善される。
• 任意の(−1/r)-凹型等方的確率ベクトルX ∈ R^nは、すべての0 < p < r/2に対して、普遍定数Cを用いてH(p, C)仮定を満たす。
• このようなベクトルに対して、ℓ²ノルムは尾部境界 P(|X|₂ > t√n) ≤ (c max(1, r/√n)/t)^{r/2} を満たし、強い集中を示す。
• r ≥ log n かつ N ≥ C(ε)n のとき、等方的(−1/r)-凹型ベクトルのN個のi.i.d.標本から得られる標本共分散行列は、高確率で単位行列にε以内に近づく。
• これらの結果は、特に慣性楕円体近似を用いることで、確率的体積計算アルゴリズムに用いられるマルコフ連鎖の混合時間の境界を改善することを示唆する。