[論文レビュー] Concentration phenomenon for fractional nonlinear Schrödinger equations

Guoyuan Chen, Youquan Zheng|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 41被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、非局所作用素 $(-\varepsilon^2\Delta)^s$ を有する分数階非線形シュレーディンガー方程式の解の集中現象を $\varepsilon \to 0$ の下で確立する。Lyapunov-Schmidt 減少法を用いて、$n=1,2,3$、$\max\{\frac{1}{2},\frac{n}{4}\} < s < 1$、および $1 \leq \alpha < \alpha_*(s,n)$ の条件下で、ポテンシャル $V$ の非退化的臨界点に集中する非自明解の存在を証明する。ここで $\alpha_*(s,n) = \frac{4s}{n-2s}$（$s < \frac{n}{2}$ の場合）およびそれ以外の場合は $\infty$ である。

ABSTRACT

We study the concentration phenomenon for solutions of the fractional nonlinear Schrödinger equation, which is nonlocal. We mainly use the Lyapunov-Schmidt reduction method. Precisely, consider the nonlinear equation \begin{equation}\label{e:abstract} (-\varepsilon^2Δ)^sv+Vv-|v|^αv=0\quad\mbox{in}\quad\mathbf R^n, \end{equation} where $n =1, 2, 3$, $\max\{\frac{1}{2}, \frac{n}{4}\}&lt; s &lt; 1$, $1 \leq α&lt; α_*(s,n)$, $V\in C^3_{b}(\mathbf{R}^n)$. Here the exponent $α_*(s,n)=\frac{4s}{n-2s}$ for $0 &lt; s &lt; \frac{n}{2}$ and $α_*(s,n)=\infty$ for $s \geq\frac{n}{2}$. Then for each non-degenerate critical point $z_0$ of $V$, there is a nontrivial solution of equation ( ef{e:abstract}) concentrating to $z_0$ as $\varepsilon o 0$.

研究の動機と目的

• 非局所作用素を有する分数階非線形シュレーディンガー方程式の解における集中現象を調査すること。
• $\varepsilon \to 0$ の下で、ポテンシャル $V$ の非退化的臨界点に集中する非自明解の存在を確立すること。
• Lyapunov-Schmidt 減少法を分数階設定に拡張し、非局所方程式に適用すること。
• ポテンシャル $V$ および非線形項に関する正則性と成長条件の下で、$\varepsilon$ が小さい極限における解の挙動を分析すること。

提案手法

• 方程式 $(-\varepsilon^2\Delta)^s v + Vv - |v|^\alpha v = 0$ に於いて、$\mathbf{R}^n$ 内で Lyapunov-Schmidt 減少法を適用する。
• 極限問題 $(-\Delta)^s u + u = |u|^\alpha u$ のスケーリングされた基底状態 $u_0$ を用いた形式的アンザッツを構築する。
• 解を $z$ を中心とする主要部 $u_{z,\varepsilon}$ と補正項 $\phi_{z,\varepsilon}$ に分解し、後者は射影方程式により制御する。
• 重み付き $H^{2s}$-型空間内で削減を行い、陰関数定理を用いて射影方程式の可解性を確立する。
• $u_0$ の減衰性および $V$ の正則性を用いて、$\rho = \varepsilon^{-\lambda}$ を含むノルムにおける誤差項 $e_1, e_2, e_3$ の推定を導出する。
• Brouwer の不動点定理に基づく位相的議論により、削減された解写像のゼロ点の存在を示し、これにより $z_\varepsilon \to 0$ に集中する解 $v_\varepsilon$ の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的分数階ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^s$ を有する分数階非線形シュレーディンガー方程式に対して、$\varepsilon \to 0$ の下でポテンシャル $V$ の非退化的臨界点に集中する非自明解が存在するか？
• RQ2 Lyapunov-Schmidt 減少法は、分数階ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^s$ を扱うために適応可能か？
• RQ3 このような集中現象が生じるための $s$, $n$, および $\alpha$ の正確な条件は何か？
• RQ4 特に、解の形状がスケーリングされた基底状態にどのように収束するかを含め、$\varepsilon$ が小さい極限における解構造はいかなるものか？
• RQ5 ポテンシャルの臨界点の非退化性は、集中解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ポテンシャル $V$ の各非退化的臨界点 $z_0$ に対して、方程式 $(-\varepsilon^2\Delta)^s v + Vv - |v|^\alpha v = 0$ に対して $\varepsilon \to 0$ の下で $z_0$ に集中する非自明解 $v_\varepsilon$ が存在する。
• 解は $v_\varepsilon(x) = u_0\left(\frac{x - z_\varepsilon}{\varepsilon}\right) + \phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}$ の形を取り、$z_\varepsilon \to 0$ かつ $\|\phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}\|_{2s} \to 0$ ($\varepsilon \to 0$) となる。
• 補正項 $\phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}$ は $\varepsilon \to 0$ の下で一様にゼロに収束し、解が単一の点の周囲に集中することを保証する。
• 指数 $\alpha$ は $1 \leq \alpha < \alpha_*(s,n)$ を満たす必要があり、ここで $\alpha_*(s,n) = \frac{4s}{n-2s}$（$s < \frac{n}{2}$ の場合）およびそれ以外の場合は $\infty$ である。
• 本手法は、ポテンシャルの臨界点の非退化性および極限問題の唯一つで非退化的な基底状態解の存在に依存する。
• 分析は $n=1,2,3$、$\max\{\frac{1}{2},\frac{n}{4}\} < s < 1$、および $V \in C^3_b(\mathbf{R}^n)$ の条件下で成立する。