[論文レビュー] Concurrence of Lorentz-positive maps

Roland Hildebrand|ArXiv.org|Dec 8, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ正の写像と一般化固有値ペンチルを用いることで、正の作用素および双粒子密度行列のconcurrenceとI-fidelityの明示的公式を導入する。入力空間𝒟(2)を持つ作用素に関しては、concurrenceとI-fidelityがローレンツ錐上の凸および凹な屋根関数に簡略化され、それぞれ第二に大きいおよび最小の一般化固有値を用いた閉形式の表現が得られる。

ABSTRACT

Let L_n be the n-dimensional Lorentz cone. A linear map M from R^m to R^n is called Lorentz-positive if M[L_m] is contained in L_n. We extend the notion of concurrence, which was initially introduced to quantify the entanglement of bipartite density matrices, to Lorentz-positive maps and provide an explicite formula for it. This allows us to obtain formulae for the concurrence of arbitrary positive operators taking 2 x 2 complex hermitian matrices as input and consequently of arbitrary bipartite density matrices of rank 2. Namely, let P: H(2) o H(d) be a positive operator, and let λ_1,...,λ_4 be the generalized eigenvalues of the pencil σ_2(P(X)) - λdet X, in decreasing order, where σ_2 is the second symmetric function of the spectrum. Then the concurrence is given by the expression C(P;X) = 2\sqrt{σ_2(P(X)) - λ_2 det X}. As an application, we compute the concurrences of the density matrices of all graphs with 2 edges. Similar results apply for a function which we call I-fidelity, with the second largest generalized eigenvalue λ_2 replaced by the smallest eigenvalue λ_4.

研究の動機と目的

• 量子状態を超えた正の作用素へのconcurrenceの概念を一般化すること。
• ローレンツ錐上での第二対称関数の平方根の凸および凹な屋根関数を定義し、計算すること。
• 入力空間ℋ(2)を持つ正の写像のconcurrenceおよびI-fidelityの明示的表現を導出すること、特にランク2の双粒子密度行列に対して。
• 正の作用素のconcurrenceと部分トレース写像との間の関係を確立し、双粒子系における計算を可能にする。
• concurrenceおよびI-fidelityを実現する純粋状態への最適分解を体系的に計算する手法を提供すること。

提案手法

• 本稿では、ローレンツ錐を保存する実ベクトル空間間の線形写像としてローレンツ正の写像を定義し、符号数(+---...)を持つ二次形式の利用を可能にする。
• ペンチルσ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ det X に対する一般化固有値問題を導入し、λ₁ ≥ λ₂ ≥ λ₃ ≥ λ₄ が一般化固有値であるとする。
• concurrenceはC(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₂ det X] として計算され、λ₂は第二に大きい一般化固有値である。
• I-fidelityは最小一般化固有値λ₄を用いて同様に定義され、F(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₄ det X] が得られる。
• ℋ(2)に対して、正の作用素Φはローレンツ正の写像を誘導するため、問題をローレンツ錐構造に還元できる。
• concurrenceまたはI-fidelityを達成する最適分解は、λ₂（concurrence用）またはλ₄（I-fidelity用）に対応する固有ベクトルから導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の作用素Φ:ℋ(2)→ℋ(d₂)のconcurrenceは、行列ペンチルの一般化固有値を用いてどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 ローレンツ錐は、量子状態を超えた正の写像へのconcurrenceの一般化において、果たす役割は何か？
• RQ3 同じ関数の凹な屋根関数として定義されるI-fidelityは、concurrenceと同様の公式で計算可能か？
• RQ4 どのクラスの正の作用素に対して、第二対称関数の平方根の凸な屋根関数が閉形式で表現可能か？
• RQ5 ランク2の密度行列に対するconcurrenceまたはI-fidelityを実現する最適な純粋状態分解の構造は何か？

主な発見

• 正の作用素Φ:ℋ(2)→ℋ(d₂)のconcurrenceは、C(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₂ det X] で与えられ、λ₂はペンチルσ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ det X の第二に大きい一般化固有値である。
• 同じ作用素のI-fidelityはF(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₄ det X] で与えられ、λ₄は最小一般化固有値である。
• ランク2の双粒子密度行列に対しては、Φを部分トレース写像と同一視することで、同じ公式を用いてconcurrenceおよびI-fidelityを計算可能である。
• concurrenceまたはI-fidelityを達成する最適分解には2つの純粋状態のみが関与し、分解ベクトルはλ₂またはλ₄に対応する行列ペンチルの固有ベクトルから得られる。
• 本稿では、2つの辺を持つ20個のグラフすべてについて明示的なconcurrence値を提示しており、同型なグラフは共有する固有値および像の性質により同一のconcurrenceおよびI-fidelityを示す。
• 一般化固有値ペンチルによるローレンツ錐構造への還元により、任意のランクを持つℋ(2)を入力空間とするすべての正の作用素へと結果が拡張可能である。