[論文レビュー] Concurrent games and semi-random determinacy

Stéphane Le Roux|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、状態列ではなく色列に基づいて勝利条件が定義される、グラフ上の並行的無限時間2人ゲームのための新しいフレームワークを導入する。勝利条件が単純な条件を満たす場合、プレイヤー1の有限記憶戦略が存在するための必要十分条件は、その条件が有限個の導出された1人ゲームにおいても同様に成立することを示し、追加の要件のもとで、プレイヤー1の有限記憶戦略が存在しないことは、プレイヤー2がほとんど確実に勝利する確率的戦略が存在することと同値である。これは、ω-正則言語の公平性バージョンに特に適用可能である。

ABSTRACT

Consider concurrent, infinite duration, two-player win/lose games played on graphs. If the winning condition satisfies some simple requirement, the existence of Player 1 winning (finite-memory) strategies is equivalent to the existence of winning (finite-memory) strategies in finitely many derived one-player games. Several classical winning conditions satisfy this simple requirement. Under an additional requirement on the winning condition, the non-existence of Player 1 winning strategies from all vertices is equivalent to the existence of Player 2 stochastic strategies winning almost surely from all vertices. Only few classical winning conditions satisfy this additional requirement, but a fairness variant of o

研究の動機と目的

• 勝利条件を状態列から遷移の色列へ移行させることで、無限時間2人ゲームを再定式化すること。
• プレイヤー1の有限記憶戦略が有限個の1人ゲームに還元可能となる条件を同定すること。
• プレイヤー1の有限記憶戦略が存在しないことと、プレイヤー2がほとんど確実に勝利する確率的戦略が存在することとの関係を確立すること。
• インタリーブ閉性を有する勝利条件を、戦略存在性および決定性に関する結果の主要な技術的ツールとして特徴づけること。
• 古典的な決定性結果を、特にω-正則言語の公平性バージョンに適用可能な、半確率的戦略を用いた並行ゲームへと拡張すること。

提案手法

• 行動が色ラベル付きの遷移を引き起こす並行ゲームを定義し、勝利は無限色列に基づいて決定される。
• 無限列のインタリーブ操作に対して性質が保たれる「インタリーブ閉性」を持つ勝利条件の概念を導入する。
• 勝利条件とその補集合が両方ともインタリーブ閉性を満たす場合、その和集合および積集合に対しても同様に性質が保たれることを証明する。
• 接頭辞除去および因子-接頭辞閉包の議論を用いて、尾部の振るまいが元の列の振るまいを反映することを示す。
• インタリーブ閉性が和集合および積集合において保存されることを確立し、特定のクラスにおいて補集合についての閉包性を示す。
• 理論をω-正則言語の公平性バージョンに適用し、必要な閉包性および決定性条件を満たしていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勝利条件にどのような条件が課されると、プレイヤー1の有限記憶戦略の存在が有限個の1人ゲームへの還元に帰着可能になるか？
• RQ2 プレイヤー1の有限記憶戦略が存在しない場合、どのような条件下でプレイヤー2がほとんど確実に勝利する確率的戦略が存在することになるか？
• RQ3 古典的および一般化された勝利条件（例：ω-正則言語の公平性バージョン）のうち、どの条件がインタリーブ閉性を満たすか？
• RQ4 並行ゲームにおける戦略存在性を特徴づけるために、インタリーブ閉性は必須か？
• RQ5 インタリーブ閉性条件の閉包性を用いて、並行ゲームにおける戦略合成の有効なアルゴリズムを導出可能か？

主な発見

• 勝利条件が接頭辞および因子操作について単純に閉じている場合、プレイヤー1の有限記憶戦略が存在するための必要十分条件は、その条件が有限個の導出された1人ゲームにおいても同様に成立することである。
• 追加の要件として、勝利条件とその補集合が両方ともインタリーブ閉性を満たす場合、プレイヤー1の有限記憶戦略が存在しないことは、プレイヤー2がほとんど確実に勝利する確率的戦略が存在することと同値である。
• ω-正則言語の公平性バージョンは、必要なインタリーブ閉性および補集合閉包条件を満たしており、提案された決定性結果に適している。
• インタリーブ閉性条件のクラスは、和集合、積集合、接頭辞除去、および因子-接頭辞操作について閉じており、強固な閉包性を有する。
• 証明技法は、列内の未解決問題の数を制限することに依拠し、証拠を用いてインタリーブされた列がその成分から有界性を継承することを示す。
• 反例により、一般にはインタリーブ閉性が補集合に対して保存されないことが示され、が、到達可能性、パリティ、エネルギー、平均報酬条件などの特定クラスでは成立する。