[論文レビュー] Condensation of random walks and the Wulff crystal

Nathanaël Berestycki, Ariel Yadin|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ℤ^d$ における最近接隣接ランダムウォークに、ウォークの範囲境界の大きさによるペナルティを課したギブス測度を研究し、すべての$β > 0$に対して、$d=2$ では直径$(t/\beta)^{1/3}$ のコンact集合へとウォークが凝縮することを示している。$d\geq 3$ では体積が$(t/\beta)^{d/(d+1)}$ で上から抑えられ、直径についても一致する下界が得られている。結果として、熱力学的極限において、Wulff結晶に類似した形状が得られる。

ABSTRACT

We introduce a Gibbs measure on nearest-neighbour paths of length $t$ in the Euclidean $d$-dimensional lattice, where each path is penalised by a factor proportional to the size of its boundary and an inverse temperature $β$. We prove that, for all $β>0$, the random walk condensates to a set of diameter $(t/β)^{1/3}$ in dimension $d=2$, up to a multiplicative constant. In all dimensions $d\ge 3$, we also prove that the volume is bounded above by $(t/β)^{d/(d+1)}$ and the diameter is bounded below by $(t/β)^{1/(d+1)}$. Similar results hold for a random walk conditioned to have local time greater than $β$ everywhere in its range when $β$ is larger than some explicit constant, which in dimension two is the logarithm of the connective constant.

研究の動機と目的

• 境界ペナルティを受ける自己吸引的ランダムウォークの幾何的凝縮を理解すること。
• このようなウォークの範囲の正確なスケーリング極限を、時間$t$と逆温度$\beta$の観点から確立すること。
• 得られる形状が熱力学的極限において、明示的なスケーリング指数を伴ってWulff結晶に収束することを証明すること。
• 局所時間がある閾値$\beta$を超える条件付きで定義されたモデルに、結果を拡張すること。

提案手法

• ハミルトニアン$H(\omega) = |\partial R_t|$ を持つ、$ℤ^d$ 内の経路に対するギブス測度を形式化し、範囲$R_t$ の境界をペナルティ化する。
• ドンスカー＝ヴァラドハンの大偏差原理を用いて、分配関数$Z(t,\beta)$ の推定を行う。
• 離散的等周的不等式と到達時間の推定を用いて、ギブス測度下での範囲の幾何的性質を制御する。
• 測度変換技術を用いて、局所時間と境界サイズを制御する良好な事象を構成する。
• 混合時間の推定とフロー論的議論を用いて、体積および直径の上界と下界を導出する。
• すべての訪問済み頂点で局所時間が$\geq \beta$ である条件付きで、結果を関連するモデルに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界サイズによってペナルティを受ける自己吸引的ランダムウォークの範囲の漸近的形状は何か？
• RQ2 次元$d \geq 2$ において、時間$t$と逆温度$\beta$ に従って、範囲の直径と体積はどのようにスケーリングするか？
• RQ3 $t$ が非常に大きい極限において、範囲は確率的極限として決定的Wulff結晶形状に収束するか？
• RQ4 ウォークがすべての訪問済み頂点で局所時間が少なくとも$\beta$ 以上であるように条件付けられた場合、幾何的性質はどのように変化するか？
• RQ5 境界の粗さの正しいスケーリングは何か？また、KPZ普遍性で観察される$t^{1/9}$ の法則に従うか？

主な発見

• $d=2$ において、範囲の直径は、乗法的定数の範囲でほとんど確実に$\Theta((t/\beta)^{1/3})$ である。
• $d \geq 3$ において、範囲の体積は、$\beta$ のみに依存する定数$C$ を用いて、$C(t/\beta)^{d/(d+1)}$ で上から抑えられる。
• $d \geq 3$ において、範囲の直径は、$c>0$ を満たすある定数$c$ を用いて、$c(t/\beta)^{1/(d+1)}$ で下から抑えられる。この不等式はすべての$\beta > 0$ に対して成り立つ。
• $\beta$ が臨界閾値（$d=2$ における接続定数の対数的関数）を超える場合、すべての訪問済み頂点で局所時間が$\geq \beta$ であるように条件付けられたランダムウォークに対しても、同じスケーリングが成り立つ。
• 本稿では、極限形状定理の予想を提示する：スケーリングされた範囲はハウスドルフ距離において、決定的凸集合$S(\beta)$ に収束する。
• さらなる予想として、境界の粗さは、対数的補正項を除いて$t^{1/9}$ のスケーリングに従い、KPZ普遍性と整合的であるとされる。