[論文レビュー] Conditional $\alpha$-diversity for exchangeable Gibbs partitions driven by the stable subordinator

Annalisa Cerquetti|arXiv (Cornell University)|May 4, 2011

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、安定劣化子によって駆動される混合ポアソン＝キングマンモデルという広範な交換可能なギブス分割のクラスに対して、観測された種の個体数が与えられたもとでの条件付きα多様度分布を導出する。一般化された後方密度の公式を用い、条件付きα多様度の閉形式表現を導出しており、これは二パラメータ・ポアソン＝ディリクレ分布および正規化された一般化ガンマ過程の先行研究を統合・一般化するものである。

ABSTRACT

Asymptotic behaviour of conditional $\alpha$ diversity for the two-parameter Poisson-Dirichlet partition model and for the normalized generalized Gamma model has been recently investigated in Favaro et al. (2009, 2011) with a view to possible applications in Bayesian treatment of species richness estimation. Here we generalize those results to the larger class of mixed Poisson-Kingman species sampling models driven by the stable subordinator (Pitman, 2003).

研究の動機と目的

• 安定劣化子によって駆動される混合ポアソン＝キングマンモデルの全クラスにまで、ベイズ非パラメトリックな種のサンプリングにおける既存の条件付きα多様度に関する結果を一般化すること。
• サンプルサイズnでk種が観測されたもとでの、α多様度の後方密度の統一的解析的表現を導出すること。
• 二パラメータ・ポアソン＝ディリクレ分布や正規化された一般化ガンマ過程といった特定のモデルに対する先行研究を包含・拡張する一般公式を確立すること。
• 交換可能な確率測度に基づく交換可能な確率分割を用いた非パラメトリックベイズ推論における、後方種の豊かさ推定の理論的基盤を提供すること。
• 安定劣化子フレームワークにおけるα多様度の分布的性質と、それらの背後にあるLévy測度および混合密度との関係を明らかにすること。

提案手法

• 混合密度γ(t) = h(t)fα(t)を用いて、安定劣化子の密度fαを含む、ポアソン＝キングマン構成を用いて交換可能なギブス分割をモデル化する。
• ベイズの定理を適用し、サンプルサイズnでk種が観測されたもとでのα多様度Sα,h,n,kの後方密度を導出する。
• 正確な密度f h,αn,k(s) = h(s−1/α)˜gαn,k(s)/Eαn,k[h(S−1/α)]を導出する。ここで、˜gαn,k(s)は独立な確率変数Yα,kとW∼β(kα, n−kα)の積の密度である。
• 正規化定数を式(6)を用いて、重みVn,k,hと期待値Eαn,k[h(S−1/α)]に結びつける。
• ラプラス変換および特性関数を用いて、Favaroら(2009, 2011)の既知の結果と分布的に同等であることを検証する。
• 二パラメータ・ポアソン＝ディリクレ分布および一般化ガンマモデルの既知の密度が、特殊ケースとしてこの一般公式から回復されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプルサイズnでk種が観測されたもとでの、安定劣化子によって駆動される交換可能なギブス分割におけるα多様度の正確な後方分布は何か？
• RQ2 混合密度hが任意のものである場合、混合ポアソン＝キングマンモデルにおける条件付きα多様度を閉形式でどのように表現できるか？
• RQ3 一般公式は、二パラメータ・ポアソン＝ディリクレ分布や正規化された一般化ガンマ過程といった特定のモデルに対する既知の結果を回復できるか？
• RQ4 安定劣化子フレームワークにおける、条件付きα多様度と確率測度の総質量との間の分布的関係は何か？
• RQ5 条件付きα多様度の特性関数を導出し、文献に既知の形と一致することを示せるか？

主な発見

• 条件付きα多様度Sα,h,n,kは、閉形式の密度f h,αn,k(s) = h(s−1/α)˜gαn,k(s)/Eαn,k[h(S−1/α)]を有する。ここで、˜gαn,k(s)はYα,k × β(kα, n−kα)の密度である。
• 正規化定数Eαn,k[h(S−1/α)]は、重みVn,k,hおよびガンマ関数を用いて式(6)で示される形で表現される。
• 二パラメータ・ポアソン＝ディリクレモデルでは、条件付きα多様度密度はFavaroら(2009)の既知の結果と一致し、一貫性が確認された。
• 正規化された一般化ガンマモデルでは、導出された密度はFavaroら(2011)の結果と一致し、一般公式の妥当性が裏付けられた。
• (α,θ)モデルにおける条件付きα多様度の特性関数は、∑r≥0 (it)^r / r! × ( (θ + kα)/α )^r / (θ + n)^rα として示され、Favaroら(2009)の結果と一致した。
• 一般公式の帰結として、Yα,n/α × β(k, n/α −k)とYα,k × β(kα, n−kα)の分布的同等性が確立され、先行研究を拡張した。