[論文レビュー] Conditional Dichotomy of Boolean Ordered Promise CSPs

Joshua Brakensiek, Venkatesan Guruswami+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2021

Constraint Satisfaction and Optimization被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Rich 2-to-1 猜定の下で、ブール順序付きプロミスCSPに対する条件付き二分法を確立する。問題が多項式時間で解けるのは、すべての座標において任意に小さいシャプレイ値を持つ多様体をもつ場合に限る。そうでない場合はNP困難である。この結果は、小さなシャプレイ値が大きなしきい値関数のマイナーを含むことを示すことに依存し、シャプレイ値が一様なランダム2対1マイナーにおいて一貫性を示すことを裏付ける。

ABSTRACT

Promise Constraint Satisfaction Problems (PCSPs) are a generalization of Constraint Satisfaction Problems (CSPs) where each predicate has a strong and a weak form and given a CSP instance, the objective is to distinguish if the strong form can be satisfied vs. even the weak form cannot be satisfied. Since their formal introduction by Austrin, Guruswami, and Håstad, there has been a flurry of works on PCSPs [BBKO19,KO19,WZ20]. The key tool in studying PCSPs is the algebraic framework developed in the context of CSPs where the closure properties of the satisfying solutions known as the polymorphisms are analyzed. The polymorphisms of PCSPs are much richer than CSPs. In the Boolean case, we still do not know if dichotomy for PCSPs exists analogous to Schaefer's dichotomy result for CSPs. In this paper, we study a special case of Boolean PCSPs, namely Boolean Ordered PCSPs where the Boolean PCSPs have the predicate $x \leq y$. In the algebraic framework, this is the special case of Boolean PCSPs when the polymorphisms are monotone functions. We prove that Boolean Ordered PCSPs exhibit a computational dichotomy assuming the Rich 2-to-1 Conjecture [BKM21] which is a perfect completeness surrogate of the Unique Games Conjecture. Assuming the Rich 2-to-1 Conjecture, we prove that a Boolean Ordered PCSP can be solved in polynomial time if for every $ε>0$, it has polymorphisms where each coordinate has Shapley value at most $ε$, else it is NP-hard. The algorithmic part of our dichotomy is based on a structural lemma that Boolean monotone functions with each coordinate having low Shapley value have arbitrarily large threshold functions as minors. The hardness part proceeds by showing that the Shapley value is consistent under a uniformly random 2-to-1 minor. Of independent interest, we show that the Shapley value can be inconsistent under an adversarial 2-to-1 minor.

研究の動機と目的

• 制約に順序述語 $x \leq y$ を含む、プロミスCSPの特殊ケースであるブール順序付きPCSPの計算的二分法を確立すること。
• そのような問題の正確な tractability 条件を特定し、シューファーの二分法をプロミス設定に拡張すること。
• すべての座標が任意に小さいシャプレイ値を持つ場合に、多様体のシャプレイ値によって多項式時間解法が可能であることを特徴づけること。
• そのような多様体が存在しない場合、Rich 2-to-1 猜定の下で問題がNP困難であることを証明すること。
• マイナーにおけるシャプレイ値の振る舞いに関する構造的洞察を提供すること、特に任意の2対1マイナーに対して一貫性がない反例を示すこと。

提案手法

• CSPの代数的枠組みを活用し、ブール順序付きPCSPの多様体を単調ブール関数として分析すること。
• 単調関数のすべてのシャプレイ値が $o(1)$ であれば、それが大きなしきい値関数マイナーを持つことを証明し、効率的アルゴリズムの実現を可能にすること。
• Rich 2-to-1 猜定をハードネスの仮定として用い、すべての座標で一様に小さなシャプレイ値を持つ多様体が存在しない場合に条件付きNP困難性を導出すること。
• 一様なランダム2対1マイナーにおいてシャプレイ値が一貫して振る舞うことを示し、ハードネス方向を支持すること。
• 任意の2対1マイナーにおいてシャプレイ値が一貫しない可能性がある反例を構築し、解析における一様ランダム性の必要性を強調すること。
• 確率的および組合せ的議論を用い、ランダム制限と境界集合に対して集中不等式を適用してシャプレイ値の上限を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール順序付きPCSPが多項式時間で解ける条件は何か？
• RQ2 多様体のシャプレイ値が、ブール順序付きPCSPの完全な tractability 準拠として機能できるか？
• RQ3 シャプレイ値は2対1マイナーにおいてどのように振る舞い、それがハードネス還元に何を意味するか？
• RQ4 小さなシャプレイ値と単調ブール関数におけるしきい値関数マイナーの存在との間に構造的関係はあるか？
• RQ5 Rich 2-to-1 猜定を用いて、このクラスのPCSPに対して条件付き二分法を確立できるか？

主な発見

• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、すべての座標がシャプレイ値 $\leq \epsilon$ である多様体が存在するならば、ブール順序付きPCSPは多項式時間で解ける。
• そのような多様体が存在しない場合、Rich 2-to-1 猜定の下で問題はNP困難である。
• すべてのシャプレイ値が $o(1)$ である単調ブール関数は、大きなしきい値関数マイナーを持つ必要があり、これにより効率的な解法が可能になる。
• 構築された関数 $f'$ において、座標1のシャプレイ値は $o(1)$、座標2のシャプレイ値は $\Omega(1)$ である。これは非対称な感度を示している。
• シャプレイ値は一様なランダム2対1マイナーにおいて一貫性を示すが、任意のマイナーにおいては一貫しない可能性がある。構築された反例によりこれが示された。
• すべての座標におけるシャプレイ値の和は1であり、対称性により $f'$ における $i \geq 3$ の座標は $o(1)$ のシャプレイ値を持つ。これにより、座標1と2の支配的役割が確認される。