[論文レビュー] Conditional Independence and Markov Properties in Possibility Theory

Jiřina Vejnarová|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、de Coomanの測度論的枠組みを用いて、確率論における条件付き独立性およびマークフ・性質を可能性理論へ拡張する。アーチメデスのt-ノルムがグラフイド性質を満たすための条件を確立し、t-ノルムパラメータ化されたマークフ・性質および要約（ファクタリゼーション）を導入し、特定の仮定の下でそれらが同値であることを証明する。また、これらの条件が不可欠であることを示す反例も提示する。

ABSTRACT

Conditional independence and Markov properties are powerful tools allowing expression of multidimensional probability distributions by means of low-dimensional ones. As multidimensional possibilistic models have been studied for several years, the demand for analogous tools in possibility theory seems to be quite natural. This paper is intended to be a promotion of de Cooman's measure-theoretic approcah to possibility theory, as this approach allows us to find analogies to many important results obtained in probabilistic framework. First, we recall semi-graphoid properties of conditional possibilistic independence, parameterized by a continuous t-norm, and find sufficient conditions for a class of Archimedean t-norms to have the graphoid property. Then we introduce Markov properties and factorization of possibility distrubtions (again parameterized by a continuous t-norm) and find the relationships between them. These results are accompanied by a number of conterexamples, which show that the assumptions of specific theorems are substantial.

研究の動機と目的

• 確率論における条件付き独立性およびマークフ・性質の概念を可能性理論へ拡張すること。
• 連続的t-ノルムの下で、条件付き可能性的独立性の半グラフイド性質が成り立つかどうかを調査すること。
• t-ノルムパラメータ化されたマークフ・性質および可能性分布のファクタリゼーションを定義し、それらを分析すること。
• 特定の条件下でマークフ・性質とファクタリゼーションが同値であることを確立すること。
• 反例を用いて、定理における仮定が必要不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 可能性理論の形式的取り扱いの基盤として、de Coomanの測度論的アプローチを採用する。
• 連続的t-ノルムを用いて条件付き独立性をパラメータ化し、半グラフイド性質を定義する。
• 無向グラフ上の可能性分布に対して、t-ノルムパラメータ化されたマークフ・性質の概念を導入する。
• 同じt-ノルムパラメータ化に基づいて、可能性分布のファクタリゼーションを定義する。
• 論理的および構造的推論を用いて、マークフ・性質とファクタリゼーションの関係を分析する。
• 反例を用いて、定理における特定の仮定が本質的であり、緩めることはできないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t-ノルムにどのような条件下で、条件付き可能性的独立性がグラフイド性質を満たすか？
• RQ2 連続的t-ノルムを用いて、可能性理論におけるマークフ・性質とファクタリゼーションを一貫して定義できるか？
• RQ3 可能性理論の文脈において、マークフ・性質とファクタリゼーションの関係は何か？
• RQ4 マークフ・性質とファクタリゼーションの同値性に関する定理における仮定は、必要不可欠か？
• RQ5 反例は、これらの仮定の必要性をどのように示しているか？

主な発見

• 本稿は、アーチメデスのt-ノルムが条件付き可能性的独立性におけるグラフイド性質を満たすための十分条件を同定した。
• 特定のt-ノルムパラメータ化の下で、マークフ・性質とファクタリゼーションが同値であることが確立された。
• 反例により、主要定理における仮定が本質的であり、省略できないことが示された。
• 結果として、条件付き独立性およびマークフ・性質といった重要な確率論的概念が、可能性理論の枠組みへ一般化された。
• この枠組みは、確率論におけるそれらと類似した構造的性質を持つ、形式的で測度論的な可能性分布の取り扱いを可能にする。
• 本研究は、ベイジアン・ネットワークに類似した可能性理論におけるグラフィカル・モデルの構築に基礎を提供する。