[論文レビュー] Conditional Lower Bound for Subgraph Isomorphism with a Tree Pattern

Robert Krauthgamer, Ohad Trabelsi|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、kTree問題—与えられたグラフにkノードの部分木が含まれるかを判定する問題—に対して、条件付き下界を確立する。具体的には、任意のアルゴリズムが時間 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ でこれを解けるならば、Set Cover 猜定を否定することになると示している。さらに、p-Partial Cover問題に対する新しいアルゴリズムを提案し、その実行時間を $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$ に抑え、同じ猜定のもとでほぼ最適であることを示している。

ABSTRACT

The kTree problem is a special case of Subgraph Isomorphism where the pattern graph is a tree, that is, the input is an $n$-node graph $G$ and a $k$-node tree $T$, and the goal is to determine whether $G$ has a subgraph isomorphic to $T$. We provide evidence that this problem cannot be computed significantly faster than $2^{k} extsf{poly}(n)$, which matches the fastest algorithm known for this problem by Koutis and Williams [ICALP 2009 and TALG 2016]. Specifically, we show that if kTree can be solved in time $(2-\varepsilon)^k extsf{poly}(n)$ for some constant $\varepsilon>0$, then Set Cover with $n'$ elements and $m'$ sets can be solved in time $(2-δ)^{n'} extsf{poly}(m')$ for a constant $δ(\varepsilon) > 0$, which would refute the Set Cover Conjecture by Cygan et al. [CCC 2012 and TALG 2016]. Our techniques yield a new algorithm for the p-Partial Cover problem, a parameterized version of Set Cover that requires covering at least $p$ elements (rather than all elements). Its running time is $(2+\varepsilon)^p (m')^{O(1/\varepsilon)}$ for any fixed $\varepsilon>0$, which improves the previous $2.597^p extsf{poly}(m')$-time algorithm by Zehavi [ESA 2015]. Our running time is nearly optimal, as a $(2-\varepsilon')^p extsf{poly}(m')$-time algorithm would refute the Set Cover Conjecture.

研究の動機と目的

• Set Cover 猜定に基づいて、kTree問題に対する条件付き下界を確立すること。
• kTreeの $O^*(2^k)$ アルゴリズムを $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ に著しく改善できると仮定すると、Set Cover 猜定が否定されることを示すこと。
• p-Partial Cover問題に対するより高速な実行時間を持つ新しいアルゴリズムを開発すること。
• 新しいp-Partial Coverアルゴリズムが、Set Cover 猜定のもとでほぼ最適であることを示すこと。

提案手法

• 適切に構築されたホストグラフ $G_g$ と木 $T_g^\alpha$ を用いて、Set Cover 問題をkTreeのインスタンスに還元する。
• 頂点の次数と連結性に関する構造的制約を用い、有効な同型写像が有効なSet Cover解に対応することを保証する。
• KoutisとWilliams [KW16] のkTreeアルゴリズムを用い、還元されたインスタンスを $O^*(2^k)$ 時間で解く。
• p-Partial Coverへの還元を、$p$ 個の要素に対応する部分集合の列挙に制限することで適応する。
• 有向木と修正された構成を用いることで、還元を簡略化し、実行時間の上限を改善する。
• パラメータ $g = 4/\varepsilon'$ を設定することで、木のサイズと分割の数のトレードオフを最適化し、所望の時間計算量を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 kTreeの $O^*(2^k)$ アルゴリズムを、ある $\varepsilon > 0$ に対して $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 時間に著しく改善できるか？
• RQ2 このような改善がSet Cover問題に与える影響は何か？
• RQ3 p-Partial Coverの $O^*(2.597^p)$ アルゴリズムは、Set Cover 猜定のもとで最適か？
• RQ4 最新の技術を上回るp-Partial Cover用の新しいアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 新しいアルゴリズムの実行時間が $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$ であることは、ほぼ最適か？

主な発見

• ある $\varepsilon > 0$ に対して、kTreeが時間 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ で解けるならば、Set Cover 問題（$n$ 個の要素と $m$ 個の集合）も時間 $(2 - \delta)^n \cdot \text{poly}(m)$ で解ける（$\delta > 0$）ことになり、Set Cover 猜定が否定されることになる。
• 新しいp-Partial Coverアルゴリズムは、任意の固定された $\varepsilon > 0$ に対して、時間 $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$ で実行され、以前の $O^*(2.597^p)$ の境界を改善している。
• 新しいp-Partial Coverアルゴリズムの実行時間は、$(2 - \varepsilon')^p \cdot \text{poly}(m)$ 時間で動作するアルゴリズムが存在すればSet Cover 猜定を否定することになるため、ほぼ最適である。
• 頂点の次数とグラフ構造に関する標準的な仮定のもとで、Set Cover から kTree への還元は正当であり、条件付き下界の正しさが保証される。
• ホストグラフ $G_g$ と木 $T_g^\alpha$ の構築により、有効な同型写像が正確に有効なSet Cover解に対応することが保証される。
• パラメータ $g = 4/\varepsilon'$ は、分割の数と木のサイズのトレードオフを最適化するために選ばれ、所望の時間計算量を達成する。