[論文レビュー] Conditional Markov Chains Part II: Consistency and Copulae

Tomasz R. Bielecki, Jacek Jakubowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限状態空間をもつ条件付きマルコフ連鎖（CMC）における強および弱のマルコフ的整合性とコピュラを導入・分析し、所望の周辺分布と制御された依存構造を備えた多次元CMCの構築を可能にする。主な貢献は、条件付き動的システムのモデリングにおける厳密なフレームワークを提供することであり、信用リスクおよび保険商品の価格設定への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we continue the study of conditional Markov chains (CMCs) with finite state spaces, that we initiated in Bielecki, Jakubowski and Niewęgłowski (2015). Here, we turn our attention to the study of Markov consistency and Markov copulae with regard to CMCs, and thus we follow up on the study of Markov consistency and Markov copulae for ordinary Markov chains that we presented in Bielecki, Jakubowski and Niewęgłowski (2013).

研究の動機と目的

• 所望の周辺分布と制御された依存構造を備えた多次元条件付きマルコフ連鎖（CMC）のモデリングフレームワークを構築すること。
• 通常のマルコフ連鎖におけるマルコフ整合性およびコピュラの概念を、特に二重確率過程の文脈においてCMCへと拡張すること。
• 参照情報（例：格付、失業状況など）に条件付けられることが不可欠な金融・保険分野における実用的モデリング要件に対処すること。
• 強および弱のマルコフ的整合性の必要十分条件を確立し、条件付き動的構造と周辺分布との整合性を保証すること。
• 依存構造が所望のパターンに一致するように設計された、強および弱のCMCコピュラを導入・特徴づけること。

提案手法

• フィルトレーションに沿った条件付き遷移場を用いて、CMCにおける強および弱のマルコフ的整合性を定義し、条件付き分布が与えられたフィルトレーション下でもマルコフ的であることを保証する。
• 強マルコフ的整合性のための代数的条件（例：条件 (ASM-k)）を導出し、その必要性と含意を分析する。
• 強CMCコピュラを、条件付きフィルトレーション下で条件付き独立性およびマルコフ性を保持する結合分布として定義する。
• 弱CMCコピュラを、完全な条件付き独立性を保証しないが、より弱い意味でマルコフ的である依存構造を許容する緩和形として提案する。
• コピュラに基づく依存構造を用いて、所望の周辺分布を持つCMCを構築し、例（条件付き独立、共通ジャンプ、完全依存コピュラなど）を通じて妥当性を検証する。
• 塔の性質および条件付き期待値の分解を用いて、多次元設定における整合性および独立性の性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、条件付きマルコフ連鎖が与えられたフィルトレーション下で強および弱にマルコフ的であると言えるか？
• RQ2 各成分が所望の周辺分布と望ましい依存構造を持つように、多次元CMCをどのように構築できるか？
• RQ3 CMCにおける弱および強のマルコフ的整合性の関係は何か？また、弱整合性が一般に強整合性を意味するのか？
• RQ4 CMCコピュラ（特に強および弱のもの）は、条件付けられた下での依存動的システムのモデリングをどのように可能にするか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、個々の動的要因が依存する失業保険商品の価格設定といった実世界の問題に応用可能か？

主な発見

• 強マルコフ的整合性は、遷移核に関する必要十分条件によって特徴づけられ、条件 (ASM-k) が必ずしも必要ではないことが示された。
• 弱マルコフ的整合性は、必要十分条件によって確立され、一般には弱整合性が強整合性を意味しないことが示された。
• 条件付き独立な強CMCコピュラが構築され、成分が条件付きフィルトレーション下で独立であり、かつ周辺分布を保つことが確認された。
• 共通ジャンプの強CMCコピュラが提案され、成分が共通の強度で同時にジャンプし、条件付き下でもマルコフ性が保たれる。
• 完全依存の強CMCコピュラが構築され、成分が同一に進化することで完全依存が確保されつつ、マルコフ整合性が維持された。
• 強CMCコピュラでない弱CMCコピュラが提示され、弱整合性が完全な条件付き独立性や強マルコフ性を含意しないことを示した。