[論文レビュー] Conditional-sum-of-squares estimation of models for stationary time series with long memory

Peter M. Robinson|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|Feb 26, 2007

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、長記憶時系列モデルにおける条件付き和二乗（CSS）推定量の漸近正規性を確立し、CSS推定量がガウス最大尤度推定量およびウィットル推定量と同一の漸近的分布的性質を達成することを示している。主な貢献は、予測誤差の衰減が遅いため、標準的な短記憶の議論では成立しない長記憶設定における非無視可能な切り捨て誤差を考慮に入れた厳密な証明である。

ABSTRACT

Employing recent results of Robinson (2005) we consider the asymptotic properties of conditional-sum-of-squares (CSS) estimates of parametric models for stationary time series with long memory. CSS estimation has been considered as a rival to Gaussian maximum likelihood and Whittle estimation of time series models. The latter kinds of estimate have been rigorously shown to be asymptotically normally distributed in case of long memory. However, CSS estimates, which should have the same asymptotic distributional properties under similar conditions, have not received comparable treatment: the truncation of the infinite autoregressive representation inherent in CSS estimation has been essentially ignored in proofs of asymptotic normality. Unlike in short memory models it is not straightforward to show the truncation has negligible effect.

研究の動機と目的

• 長記憶を示す stationarity 時系列の条件付き和二乗（CSS）推定量の漸近正規性を確立すること。
• 特に長記憶モデルにおける切り捨て効果が非無視可能であるという点で、CSS推定の理論的取り扱いのギャップを埋めること。
• 長記憶下で、CSS推定量がガウス最大尤度推定量およびウィットル推定量と同一の漸近的分布的性質を持つことを示すこと。
• 長記憶過程における予測誤差の衰減が遅いことに配慮した、漸近正規性の厳密な証明を提供すること。
• AR係数およびスペクトル密度に関する一般条件の下で、CSS推定量のほとんど確実収束結果を長記憶時系列に拡張すること。

提案手法

• 残差の二乗和を最小化する条件付き和二乗（CSS）推定を用いる。定義は $ s_n(\theta) = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n e_t^2(\theta) $ であり、ここで $ e_t(\theta) = \sum_{j=0}^{t-1} \alpha_j(\theta) x_{t-j} $ である。
• 真のパラメータ $ \theta_0 $ の周りでスコア関数 $ r_n(\theta) = \partial s_n(\theta)/\partial \theta $ に平均値の定理を適用する。
• 残差 $ e_t $ をホワイトノイズ $ \varepsilon_t $ に置き換えた際の影響を制御するため、スコア差 $ r_n(\theta_0) - r_n^*(\theta_0) $ を三つの項 $ r_{1n}, r_{2n}, r_{3n} $ に分解する。
• モーメントバウンドとマルティングゲール差分の仮定を用いて、$ \|r_{1n}\|, \|r_{2n}\|, \|r_{3n}\| = o_p(n^{-1/2}) $ を示し、切り捨て誤差が漸近的に無視可能であることを保証する。
• リーマン＝レーベーグの定理およびトーペイツの補題を用いて、漸近的確実収束の証明における自己共分散および係数和の衰減を制御する。
• ロビンソン（2005）の結果およびフォックスとタクク（1986）およびダールハウズ（1989）の先行研究に依拠し、長記憶下での極限分布を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非無視可能な切り捨て効果を示す長記憶時系列モデルにおいて、CSS推定量の漸近正規性を厳密に確立できるか？
• RQ2 予測誤差 $ \mathbb{E}[(e_t - \varepsilon_t)^2] \leq K t^{-1} $ の衰減が遅いため、CSS推定量の漸近的分布が短記憶モデルとどのように異なるか？
• RQ3 長記憶下で、CSS推定量はガウス最大尤度推定量およびウィットル推定量と同一の漸近的効率性および分布的性質を達成するか？
• RQ4 長記憶設定下で、CSS推定量 $ \hat{\theta}_n $ が真のパrameter $ \theta_0 $ にほとんど確実に収束するための条件は何か？
• RQ5 予測誤差の衰減が遅いにもかかわらず、無限次元AR表現における切り捨て誤差が長記憶下で漸近的に消えることを示せるか？

主な発見

• AR係数がsummableで、エルゴドリシティが成り立つというやや弱い条件下で、CSS推定量 $ \hat{\theta}_n $ は真のパrameter $ \theta_0 $ にほとんど確実に一致する。
• $ n^{1/2}(\hat{\theta}_n - \theta_0) $ の漸近分布は、平均がゼロで、共分散行列が $ \Omega^{-1} $ である多変量正規分布である。ここで $ \Omega $ はスペクトル密度とスコア関数を用いて定義される。
• 証明により、CSS推定における切り捨て誤差が漸近的に無視可能であることが示された：$ r_n(\theta_0) - r_n^*(\theta_0) = o_p(n^{-1/2}) $、これは $ \mathbb{E}[(e_t - \varepsilon_t)^2] \leq K t^{-1} $ であるが、標準的議論では不十分である。
• 主な技術的革新は、$ L^2 $-ノルムの残差誤差を対数的衰減率 $ \|h_t - \rho_t\|^2 \leq K (\log t)^2 / t $ を用いてバウンドすることにあり、これにより $ o_p(n^{-1/2}) $ の結果が可能になった。
• ホワイトノイズ $ \varepsilon_t $ が独立同分布で、平均ゼロ、有限な4次モーメントを持つこと、および $ \alpha(s; \theta) $ が $ \theta $ に関して2回連続微分可能であることの仮定の下で、漸近正規性の結果が成り立つ。
• 提示された条件下で共分散行列 $ \Omega $ は正定値であるため、極限正規分布は非退化であり、推定量は長記憶の文脈で漸近的に有効であることが保証される。