[論文レビュー] Conditional Value-at-Risk: Theory and Applications

Jakob Kisiala|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、金融リスク測度としての条件付きリスク価値（CVaR）と、新たなベクトルノルムとしてのCVaRを導入し、新たな理論的証明と応用を提示する。CVaRの有効性をポートフォリオ最適化およびモデル回復の文脈で示し、二値和信号の回復においては $L_\infty$ を上回る性能を示すが、スパース信号回復では $L_1$ に劣ることを示している。主な貢献として、ノルムの同値性に関する代替証明と、新たな区分的凸性の性質が挙げられる。

ABSTRACT

This thesis presents the Conditional Value-at-Risk concept and combines an analysis that covers its application as a risk measure and as a vector norm. For both areas of application the theory is revised in detail and examples are given to show how to apply the concept in practice. In the first part, CVaR as a risk measure is introduced and the analysis covers the mathematical definition of CVaR and different methods to calculate it. Then, CVaR optimization is analysed in the context of portfolio selection and how to apply CVaR optimization for hedging a portfolio consisting of options. The original contributions in this part are an alternative proof of Acerbi's Integral Formula in the continuous case and an explicit programme formulation for portfolio hedging. The second part first analyses the Scaled and Non-Scaled CVaR norm as new family of norms in $\mathbb{R}^n$ and compares this new norm family to the more widely known $L_p$ norms. Then, model (or signal) recovery problems are discussed and it is described how appropriate norms can be used to recover a signal with less observations than the dimension of the signal. The last chapter of this dissertation then shows how the Non-Scaled CVaR norm can be used in this model recovery context. The original contributions in this part are an alternative proof of the equivalence of two different characterizations of the Scaled CVaR norm, a new proposition that the Scaled CVaR norm is piecewise convex, and the entire \autoref{chapter:Recovery_using_CVaR}. Since the CVaR norm is a rather novel concept, its applications in a model recovery context have not been researched yet. Therefore, the final chapter of this thesis might lay the basis for further research in this area.

研究の動機と目的

• 金融ポートフォリオ最適化におけるCVaRを一貫したリスク測度として確立すること。
• $\mathbb{R}^n$ 内の新たなベクトルノルムの族として、スケーリング済みおよびスケーリング未満のCVaRノルムを構築し、分析すること。
• 観測数が信号次元より少ない状況における、スケーリング未満CVaRノルムを用いたモデル回復問題の検討。
• CVaRノルムと $L_p$ ノルムの挙動を比較し、計算効率を評価すること。
• 原子ノルムを用いたCVaRベースのモデル回復に関する今後の研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 連続ケースにおける積分公式を用いてCVaRを、価値リスクの閾値を超える期待損失として導出し、連続ケースにおける新規証明を提示する。
• CVaR最適化をポートフォリオ選択およびヘッジに適用し、オプションポートフォリオのCVaRを最小化するための線形計画法による定式化を採用する。
• スケーリング済みおよびスケーリング未満のCVaRノルムを定義し、代替導出法を用いてその同値性を証明し、スケーリング済みCVaRノルムが区分的凸性を有することを確立する。
• 凸幾何学的ツール（接錐やガウス幅など）を用いて、原子ノルム下でのモデル回復条件を分析する。
• 数値実験を通じて、CVaRノルムが $L_1$ および $L_\infty$ ノルムと比較して、異なる信号タイプにおける回復性能を評価する。
• モンテカルロシミュレーションおよび単位球の可視化を用いて、異なる $\alpha$ および $p$ 値における $C_\alpha$ と $L_p$ ノルムの幾何的性質を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続ケースにおいて、CVaRの積分公式を代替的な積分公式を用いて厳密に再証明することは可能か？
• RQ2 観測数が信号次元より少ない状況で、CVaRノルムを効果的にモデル回復に用いることは可能か？
• RQ3 CVaRノルムの性能は、$k$-スパース信号および二値和信号の回復において、$L_1$ および $L_\infty$ ノルムと比較してどのように異なるか？
• RQ4 CVaRノルムにおける信頼水準 $\alpha$ と $L_p$ 空間における $p$-ノルムとの関係は何か？
• RQ5 CVaRノルムの幾何的および計算的性質は、$L_p$ ノルムと比較してどのように異なるか？

主な発見

• アセルビの積分公式に対する代替証明が提示され、連続ケースにおける理論的基盤が強化された。
• オプション取引における実装を可能にする、CVaRを最小化するための新規線形計画法定式化が開発された。
• スケーリング済みCVaRノルムが区分的凸性を有することの証明がなされ、理論的価値が向上した。
• 数値実験の結果、CVaRノルムは $k$ 個の二値ベクトルの和からなる信号の回復において、$L_\infty$ に比べわずかに優れた性能を示した。
• CVaRノルムは $k$-スパースベクトルの回復において $L_1$ に劣り、標準的なスパース回復タスクには適さないことが示された。
• $\alpha$ の選択がCVaRノルムの単位球の幾何的性質に顕著に影響することから、最適な性能を得るためには $\alpha$ の慎重な選定が重要であると示唆された。