[論文レビュー] Conditionally Optimal Approximation Algorithms for the Girth of a Directed Graph

Mina Dalirrooyfard, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有向グラフのgirth（周囲）に対する条件付き最適な近似アルゴリズムを提示する。重みなしグラフではÕ(mn³⁴)時間で2-近似を達成し、重み付きグラフではÕ(m√n)時間で(2+ε)-近似を達成する。k-Cycle仮説のもとで、(2−ε)-近似アルゴリズムがo(mn)時間で動作できるとは証明できないことが示され、これは部分二次時間アルゴリズムにおける近似要因のタイトさを確立する。

ABSTRACT

It is known that a better than $2$-approximation algorithm for the girth in dense directed unweighted graphs needs $n^{3-o(1)}$ time unless one uses fast matrix multiplication. Meanwhile, the best known approximation factor for a combinatorial algorithm running in $O(mn^{1-ε})$ time (by Chechik et al.) is $3$. Is the true answer $2$ or $3$? The main result of this paper is a (conditionally) tight approximation algorithm for directed graphs. First, we show that under a popular hardness assumption, any algorithm, even one that exploits fast matrix multiplication, would need to take at least $mn^{1-o(1)}$ time for some sparsity $m$ if it achieves a $(2-ε)$-approximation for any $ε>0$. Second we give a $2$-approximation algorithm for the girth of unweighted graphs running in $ ilde{O}(mn^{3/4})$ time, and a $(2+ε)$-approximation algorithm (for any $ε>0$) that works in weighted graphs and runs in $ ilde{O}(m\sqrt n)$ time. Our algorithms are combinatorial. We also obtain a $(4+ε)$-approximation of the girth running in $ ilde{O}(mn^{\sqrt{2}-1})$ time, improving upon the previous best $ ilde{O}(m\sqrt n)$ running time by Chechik et al. Finally, we consider the computation of roundtrip spanners. We obtain a $(5+ε)$-approximate roundtrip spanner on $ ilde{O}(n^{1.5}/ε^2)$ edges in $ ilde{O}(m\sqrt n/ε^2)$ time. This improves upon the previous approximation factor $(8+ε)$ of Chechik et al. for the same running time.

研究の動機と目的

• 部分二次時間における有向グラフgirth近似の、既知の最良近似要因と条件付き下界の間のギャップを埋めること。
• 従来の手法よりも良い近似比を達成しながら、部分二次時間の実行時間を維持する組み合わせ的アルゴリズムの開発。
• k-Cycle仮説のもとで、girthの(2−ε)-近似がΩ(mn¹⁻ᵒ⁽¹⁾)時間以上を要することを示す条件付き下界の確立。
• 有向グラフにおけるroundtrip spanner構築の近似要因と実行時間を、先行研究よりも改善すること。

提案手法

• k-Cycle仮説を用いて、girthの(2−ε)-近似に対する条件付き下界を導出し、このようなアルゴリズムがΩ(mn¹⁻ᵒ⁽¹⁾)時間以上を要することを示す。
• スケーリング技術の導入：辺の重みをR = Wε/nで割ることで重みの範囲を縮小し、変換されたグラフH上で効率的な近似を可能にする。
• スケーリングされたグラフH上で基本的な近似アルゴリズムAを適用し、(2k + O(ε))-近似を得た後、重み再構築により結果を元のグラフGに戻す。
• 辺の重みの二分探索を用いて、すべての辺の重みが≤Wであるようなサイクルが存在する最小のWを計算し、girthの下界を特定する。
• ランダム頂点彩色とサイクル縮約を用いて、kサイクル検出をgirth近似に還元し、下界の還元を可能にする。
• 標準的手法を用いてkサイクル検出手順を決定的化し、多項式対数時間のオーバーヘッドで決定的正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 妥当な計算複雑性仮定のもとで、有向グラフgirthの(2−ε)-近似アルゴリズムがo(mn)時間で動作可能か？
• RQ2 Õ(mn¹⁻ε)時間で達成可能な3-近似要因は最適か？それとも2に改善可能か？
• RQ3 組み合わせ的アルゴリズムは、重み付き有向グラフにおける(2+ε)-近似girthを部分二次時間で達成可能か？
• RQ4 先行研究より優れた近似要因と同等の実行時間で、roundtrip spannerを構築可能か？
• RQ5 細粒度複雑性仮定のもとで、有向グラフgirthのÕ(mn¹⁻ε)時間で達成可能な最もタイトな近似要因は何か？

主な発見

• k-Cycle仮説のもとで、有向グラフgirthの(2−ε)-近似アルゴリズムはo(mn)時間で動作できないことが示され、条件付き下界が確立された。
• 重みなし有向グラフに対する2-近似アルゴリズムはÕ(mn³⁴)時間で動作し、従来の最良3-近似アルゴリズム（Õ(m√n)時間）を改善した。
• 重み付き有向グラフに対する(2+ε)-近似アルゴリズムはÕ(m√n)時間で動作し、実行時間は先行研究と同等だが、近似要因が改善された。
• girthの(4+ε)-近似アルゴリズムはÕ(mn√²⁻¹)時間で動作し、Chechikらの先行研究の最良実行時間（Õ(m√n)）を改善した。
• Õ(n¹·⁵/ε²)本の辺をもつ(5+ε)-近似roundtrip spannerをÕ(m√n/ε²)時間で構築可能であり、先行研究の近似要因(8+ε)から(5+ε)に改善された。
• 本稿では、部分二次時間アルゴリズムにおける2-近似要因が条件付き最適であることが示され、これ以上の改善はkサイクル検出における画期的進展を意味する。