[論文レビュー] Conditioned local limit theorems for random walks on the real line

Ion Grama, Hui Xiao|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実数直線上のランダムウォークに対して、境界に近いか遠くから出発する場合の、出口時間分布および条件付き期待値の正確な漸近展開を導出し、条件付き局所極限定理を確立する。出口時間分布の明示的誤差項と、最初の通過時間確率 $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ の新たな漸近的性質を提供し、従来の結果を中程度の偏差領域および $2+\delta$ 階モーメントを持つ非格子型の増分へと拡張する。

ABSTRACT

Consider a random walk $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ with independent and identically distributed real-valued increments $X_i$ of zero mean and finite variance. Assume that $X_i$ is non-lattice and has a moment of order $2+δ$. For any $x\geq 0$, let $τ_x = \inf \left\{ k\geq 1: x+S_{k} < 0 ight\}$ be the first time when the random walk $x+S_n$ leaves the half-line $[0,\infty)$. We study the asymptotic behavior of the probability $\bb P (τ_x >n)$ and that of the expectation $\mathbb{E} \left( f(x + S_n ), τ_x > n ight)$ for a large class of target function $f$ and various values of $x$, $y$ possibly depending on $n$. This general setting implies limit theorems for the joint distribution $\mathbb{P} \left( x + S_n \in y+ [0, Δ], τ_x > n ight)$ where $Δ>0$ may also depend on $n$. In particular, the case of moderate deviations $y=σ\sqrt{q n\log n}$ is considered. We also deduce some new asymptotics for random walks with drift and give explicit constants in the asymptotic of the probability $\bb P (τ_x =n)$. For the proofs we establish new conditioned integral limit theorems with precise error terms.

研究の動機と目的

• 一般関数 $f$ とさまざまな $x$ に対して、$\mathbb{P}(\tau_x > n)$ および $\mathbb{E}[f(x+S_n) \mathbf{1}_{\{\tau_x > n\}}]$ の漸近的挙動を分析すること。
• 特に中程度の偏差領域 $y = \sigma\sqrt{qn\log n}$ において、$\Delta$ が $n$ に依存する可能性のある $\mathbb{P}(x+S_n \in y+[0,\Delta], \tau_x > n)$ の連合分布に対する局所極限定理を導出すること。
• $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ の鋭い漸近的性質を明示的定数とともに確立し、古典的な拡散近似を超える結果を拡張すること。
• 調和関数と双対性恒等式を用いて、収束速度が明確な新たな条件付き積分極限定理を構築すること。
• 近似でない境界と一様推定を、近接境界および遠隔境界の両領域において、出口時間分布に対して提供すること。

提案手法

• killed ランダムウォーク $x + S_n$ に関連する調和関数 $V(x) = -\mathbb{E}[S_{\tau_x}]$ を用い、$\mathbb{E}[V(x+S_1) \mathbf{1}_{\{x+S_1 \geq 0\}}] = V(x)$ を満たす調和性方程式を満たす。
• 双対性恒等式と再生理論を適用し、再生関数 $U(x)$ と関連づけ、$U(x) = V(x)/V(0)$ となるようにする。
• 密度関数の $x + S_n$ が $\tau_x > n$ を条件とする分布に基づく、非漸近的条件付き局所極限定理を用い、$V(x)$ と $n$ を用いた明示的誤差項を導出する。
• 標準正規分布の密度関数および指数関数項を含む積分表現を用いて、剰余項の正確な推定を行う。$1 - e^{-u}$ および $e^u$ の評価を用いる。
• Lemma 3.7 を適用し、$x$ と $V(x)$ の乖離を異なる領域で制御し、$x \in [n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ の範囲で一様推定を保証する。
• これらの推定を、条件付き積分極限定理の定理（定理 2.7 および 2.8）と組み合わせ、明示的誤差項を伴う最終的な漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $x$ と $y$ が $n$ と共に増加するとき、特に中程度の偏差領域 $y = \sigma\sqrt{qn\log n}$ において、$\mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n)$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 一般のテスト関数 $f$ に対して、条件付きモーメント $\mathbb{E}[f(x + S_n) \mathbf{1}_{\{\tau_x > n\}}]$ の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ3 非格子型の増分と有限な $(2+\delta)$ 階モーメントを持つランダムウォークに対して、$\mathbb{P}(\tau_x = n)$ の漸近的展開における明示的定数と誤差項は何か？
• RQ4 条件付き分布 $x + S_n$ が $\tau_x > n$ を条件とする場合に、非漸近的局所極限定理を一様誤差項とともに確立できるか？
• RQ5 始点 $x$ が大きいが $\sqrt{n}$ に対してあまりに速く増加しない場合、条件付き出口時間確率はどのように振る舞うか？

主な発見

• $x \in [n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ の範囲では、$\mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n)$ は $V(x)$、$\sigma$、標準正規分布の累積分布関数 $\Phi^+(t)$ を含む漸近的展開をもち、誤差は $O(n^{-1/2})$ である。
• $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ の漸近的性質は、$n \to \infty$ のとき、$\frac{2V(x)}{\sigma \sqrt{2\pi n}} \left(1 + o(1)\right)$ と表され、$[n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ の $x$ に関して一様に成り立つ。
• $x \in [n^\beta, n^{1/2 - \varepsilon}]$ で $\beta < 1/2 - \varepsilon$ のとき、漸近的展開の誤差は $O(n^{-\varepsilon \beta})$ で有界となり、収束速度が向上する。
• 条件付き局所極限定理は $x$ に関して一様に成り立ち、明示的誤差項を伴う：$\left| \mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n) - \frac{2V(x)}{\sigma \sqrt{2\pi n}} \Phi^+(t) \right| \leq c \frac{x^2}{n}$。
• 積分表現と $1 - e^{-u}$、$e^u$ の評価を用いて、正確な剰余項を伴う非漸近的局所極限定理を確立した。
• 調和関数 $V(x)$ を用いて、ドリフトを伴うランダムウォークへと結果を拡張し、ドリフトが存在する場合の出口時間確率の新たな漸近的性質を提供した。