[論文レビュー] Conditioning diffusions with respect to partial observations

Jean-Louis Marchand|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、離散的な決定的時刻における過程の線形変換として観測される部分的観測条件下での多次元拡散過程の法則と、補助的拡散過程に補正項を加えたものとの間の法則的同等性を確立する。補正項は斜交射影と時刻に依存する補正を含み、この補正により、補助過程の取り扱いやすいシミュレーションを活用して、条件付き過程の効率的なモンテカルロシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we prove a result of equivalence in law between a diffusion conditioned with respect to partial observations and an auxiliary process. By partial observations we mean coordinates (or linear transformation) of the process at a finite collection of deterministic times. Apart from the theoritical interest, this result allows to simulate the conditioned diffusion through Monte Carlo's method, using the fact that the auxiliary process is easy to simulate.

研究の動機と目的

• 離散的な時刻における部分的観測、具体的には線形変換された状態の観測条件下での拡散過程のシミュレーションという課題に取り組む。
• 従来のブリッジに基づくシミュレーション手法（終端状態を完全に条件づける場合に限られていた）を、部分的または不完全な観測の状況へと拡張する。
• 統計的推論やパrameter推定における条件付き拡散過程のシミュレーションに実用的かつ計算的に実行可能な手法を提供する。
• 係数b, σおよび観測行列L_kに関する適切な正則性および非退化性条件の下で、条件付き拡散過程の法則と特定の補正項を有する補助過程の法則との同等性を確立する。

提案手法

• 斜交射影P^k_t(z)と観測時刻T_kに基づく時刻に依存する補正項を有する補助拡散過程yを提案する。
• 補正項は区間(T_k - ε_k, T_k)でのみ作用し、技術的取り扱いやすさを確保するとともに特異性を回避する。
• L_k P^k_t(z) = L_kおよびker(L_k) = ker(P^k_t(z))を満たす斜交射影P^k_t(z)を用いることで、観測制約と整合性を保つ。
• ギルサノフの定理とベイズの公式を用いて、条件付き法則と補助過程の法則との間のラドン＝ニコディム密度を導出する。
• 係数b, σおよび観測行列L_kに関する適切な正則性および非退化性条件の下で、真の条件付き拡散過程と補助過程yとの間で法則の同等性を確立する。
• ε_k → 0の極限をとることで正確な密度比を導出し、条件付き法則における期待値の不偏モンテカルロ推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的時刻における状態の線形関数としての部分的観測下で、拡散過程を効果的にシミュレートできるか？
• RQ2 条件付き拡散過程の法則と同等である補助過程が存在するか？ その場合、モンテカルロ法による実用的シミュレーションが可能か？
• RQ3 部分的観測条件付きの下で法則の同等性を保証するため、補助過程における補正項がどのような形をとるべきか？
• RQ4 条件付き法則と補助過程との間のラドン＝ニコディム密度を明示的に計算できるか？

主な発見

• 部分的観測（L_k x_{T_k} = v_k）下での拡散過程の法則は、斜交射影と時刻に依存する補正項を有する補助過程yの法則と同等である。
• 補助過程yは一意に定まり、各観測時刻T_kにおいて確率1で正しい終端値に収束するため、条件付けと整合的である。
• 条件付き法則とyの法則との間のラドン＝ニコディム密度は明示的に計算可能であり、パrameter b, σ, T_k, v_kおよび射影行列P^k_tにのみ依存する。
• 本手法により、補助過程からシミュレートされた経路の重み付き平均を用いて、条件付き期待値の不偏推定が可能になる。
• 補正項は各T_kの左近傍で可積分であるため、確率積分の存在およびギルサノフ変換の正当性が保証される。
• 理論的枠組みは、ブラウン運動ブリッジおよび完全観測ブリッジ法を、部分的かつ線形変換された観測の状況へと一般化する。